Streckenlängen im rechtwinkligen Dreieck

Question

Im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ABC sei a die Kathetenlänge und c = IABI die Hypotenusenlänge. Die Halbierende des Winkel β schneidet die Gegenkathete in zwei Stücke der Längen n und m (n<m). Vergleiche a+n mit c.

Answer 1

Es ist c = a*√2    und  b=a  also  m = a-n .

Da die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite immer im

Verhältnis der anliegenden Seiten teilt gilt

(a-n ) :  n   =    c : a  =   a*√2    :   a    =   √2   

also  a - n = n*√2     also  
    
             a = n+  n*√2  = n*(1+√2)  #

           a+n =  n*(2+√2 )   

und aus der Gleichung # folgt durch Multiplikation mit √2

         a*√2      =    n*(1+√2)*√2 =   n*(2+√2 )   


wegen   a*√2      =  c also       a+n = c .

Comments

Gehe ih recht in der Annahme, dass du in der Türkei zur Schule gegangen bist?

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Kein wirklich hilfreicher Kommentar !!!

Answer 2

Die Winkelhalbierend teilt β in zwei 22,5°-Winkel.

Die Winkelhalbierende ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Kathehenabschnitt des Ausgangsdreiecks als Kathete und der anderen Kathete des Ausgangsdreiecks als zweiter Kathete.

Der Kathetenabschnitt hat also die Länge p = b·tan 22,5°.

Wegen tan 22,5° < 1 ist p = n, also

        a + n = a + b·tan 22,5°

        = a + a·tan 22,5°

        = a·(1 + tan 22,5°)

        = a·(1 - 1 + √2)

        = √2·a

Laut Pythagoras gilt 2a² = c², also c = √2·a.

Demanch ist n+a = c.