Beweisen Sie dass A die Nullmatrix ist mit XA = 0 ....

Question

Hallo: ) eine Aufgabe:

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 A ∈ M(mn) (K)

Beweisen Sie, dass A die Nullmatrix ist damit für alle X ∈ M(mm) (K) gilt:
XA = 0 ∈ M(mn) (K)

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Kann ich das  so lassen und gibt es vielleicht noch einen kürzeren weg ? danke  : )

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....es soll bei 1. heißen 1,1 und 1,2 (matrixpositionen)

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Answer 1

Du hast nur ein paar Spezialfaelle und auch dafuer nicht wirklich sauber argumentiert. Fuer den Allgemeinfall koenntest Du $$X=\begin{pmatrix}x_1^t\\ x_2^t\\ \vdots\\ x_m^t \end{pmatrix}$$ zeilenweise schreiben. Dann ist $$XA=\begin{pmatrix}x_1^tA\\ x_2^tA\\ \vdots\\ x_m^tA \end{pmatrix}.$$ Wenn das die Nullmatrix sein soll, muss jede Zeile verschwinden, $$x_i^tA=0.$$ Da das für beliebige \(x_i^t\) gelten soll, hat man \(\operatorname{Kern} A=\mathbb{K}^m\). Nach der Dimensionsformel ist dann \(\operatorname{Rang} A=0\), also \(A=0\).

Comments

okay aber in meiner lektion kommen kern und rang nicht vor, erst in der nächsten und ich soll antworten mit den inhalten dieser lektion.

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Ich kenne Deine Lektionen nicht, jedenfalls brauchst Du ein hieb- und stichfestes Argument dafuer, dass  \(x^tA=0\) für alle \(x\) genau dann gilt, wenn \(A=0\) ist. Die eine Richtung ist trivial, zur anderen muss man schon was sagen. Finde dafuer dann halt was passendes, das schon dran war.

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geht es auch so? ich kann leider keinen Kern verwenden aber rang 

rg(XA) = 0 nach Voraussetzung
rg(XA) ≤ min(rg(X), rg(A))
0 ≤ min( rg(X), rg(A)) , rg(X) ist beliebig ---> rg(A)=0 ↔ 0 ≤ min( rg(X), rg(A))

sorry ist mir gerade erst aufgefallen

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ach mist das geht ja nicht

moment ich ändere es

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Warum soll das folgen? Die Ungleichung lautet \(0\le\min(x,a)\). Da man nur weiss, dass \(x\) und \(a\) nichtnegativ sind, folgt daraus gar nichts. Die Ungleichung gilt immer.

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Kontraposition rg(A) > 0

rg(XA) = 0 nach Voraussetzung

rg(XA) ≤ min(rg(X), rg(A)) 

rg(XA) ≤ min( rg(X), rg(A))  , rg(X) ist beliebig ---> rg(XA) ≤ min(rg(X), > 0)  , rg(XA) ≥ 0 wenn rg(X) ≠ 0

→ rg(XA) ≥ 0 , aber es soll sein:  rg(XA) = 0

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Fuer eine ganz elementare Lösung kannst Du direkt die Formel für das Produkt verwenden und damit eine einzelne Komponente von \(XA\) untersuchen. Mit \(X=(\xi_{ij})\) und \(A=(\alpha_{ij})\) also $$(XA)_{ij}=\alpha_{1j}\xi_{i1}+\alpha_{2j}\xi_{i2}+\cdots+\alpha_{mj}\xi_{im}.$$ Das soll für alle \(\xi_{ik}\) stets verschwinden. Wenn aber z.B. \(\alpha_{1j}\ne0\) ist, verschwindet es für \(\xi_{i1}=1\) und \(\xi_{i2}=\cdots=\xi_{im}=0\) nicht, usw.

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→ rg(XA) ≥ 0 , aber es soll sein:  rg(XA) = 0

Die erste Aussage ist kein Widerspruch zur zweiten, sie ist nur schwaecher.

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Kontraposition rg(A) > 0

rg(XA) = 0 nach Voraussetzung 

rg(XA) ≤ min(rg(X), rg(A))  

rg(XA) ≤ min( rg(X), rg(A))  , rg(X) ist beliebig ---> rg(XA) ≤ min(rg(X), > 0)  , wenn man rg(X) > rg(A) wählt, ist

rg(XA) ≤ rg(A) und erlaubt rg(XA) = rg(A) mit rg(A) > 0

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ok wenn nicht mache ich das so wie du geschrieben hast

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ich hab eine frage: was ist wenn A kein vektor sondern eine matrix ist? gibt es dann auch einen kern?

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also du hast aus den matrizen ein homogenes LGS gemacht um einen nullvektor und einen kern zu haben habe ich verstanden. wie machst du das mit der dimensionsformel wenn es doch multipliziert das verstehe ich nicht...

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oder ist der rangsatz?

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weisst du was  es geht auch einfacher mit der einheitsmatrix:

XA = 0 nach Voraussetzung

Annahme: Wenn X beliebig ist, muss A die Nullmatrix sein.

wenn m=n, soll XA = A sein. Wenn nun X die Einheitsmatrix ist, folgt XA=A=A=0 und A ist die Nullmatrix.

???

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Ich hab von der Matrix \(X\) die Zeilen geschrieben. Das sind die Zeilenvektoren \(x_i^t\). \(A\) ist eine Matrix. Das schliesst \(m\times1\)-Matrizen (Spaltenvektoren) ja ein. Rauskommen tut mit \(x_i^tA\) (ein Zeilenvektor) eine Zeile von \(XA\).

Benutzt hab ich am Ende \(\mathop{\dim\operatorname{Kern A}}+\operatorname{Rang}A=m\). (Rangsatz, Dimensionsformel, ...)

Ich empfehle aber die elementare Alternativloesung.

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für m=n ist auch XA = A. Wenn nun X die Einheitsmatrix ist, folgt XA=A=A=0 und A ist die Nullmatrix.

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Gratuliere! Selber was gedacht und sogar noch die einfachste Lösung gefunden. Es steht ja ausdruecklich dabei, dass X eine m×m-Matrix ist. Du brauchst nicht vorauszusetzen, dass m=n ist.

Die lange Lösung funktioniert immerhin auch dann noch, wenn man zulaesst, dass X eine l×m-Matrix ist.