1. Wenn g o f injektiv ist und wenn f surjektiv ist, dann ist g injektiv.
2. Wenn g o f surjektiv ist und wenn g injektiv ist, dann ist f surjektiv.
antwort:
ich habe die vermutung das es falsch ist deswegen die frage....
Wenn \( g \) o \( f \) injektiv ist und \( f \) surjektiv, dann ist \( g \) injektiv.
\( g \) o \( f \) ist injektiv: \( g(f(x))=g\left(f\left(x^{\prime}\right)\right) \) mit \( x=x^{\prime} \)
\( f \) ist surjektiv: \( y=f(x), y^{\prime}=f(x) \quad \rightarrow y=y^{\prime} \)
Somit ist: \( g(y)=g\left(y^{\prime}\right) \) mit \( y=y^{\prime} \)
und \( g \) ist injektiv.
Wenn \( g \) o \( f \) surfektiv ist und \( g \) injektiv, dann ist \( f \) surjektiv.
\( g \circ f \) ist surjektiv: \( y=f(x), g(y)=z, z=g(y) \) und \( z^{\prime}=g(y) \)
\( g \) ist injektiv: \( g(y)=g\left(y^{\prime}\right) \) mit \( y=y^{\prime} \)
Es ist: \( y=y^{\prime} \) und somit auch \( y=f(x), y^{\prime}=f(x) \) mit \( f(x)=f(x) \)
und \( g(y)=z=z^{\prime}=g\left(y^{\prime}\right) \)