Wenn g o f surjektiv / injektiv ist, dann ist f, g .....

Question

1. Wenn g o f injektiv ist und wenn f surjektiv ist, dann ist g injektiv.

2. Wenn g o f surjektiv ist und wenn g injektiv ist, dann ist f surjektiv.

antwort:

ich habe die vermutung das es falsch ist deswegen die frage....

Wenn \( g \) o \( f \) injektiv ist und \( f \) surjektiv, dann ist \( g \) injektiv.

\( g  \) o \( f \) ist injektiv: \( g(f(x))=g\left(f\left(x^{\prime}\right)\right) \) mit \( x=x^{\prime} \)

\( f \) ist surjektiv: \( y=f(x), y^{\prime}=f(x) \quad \rightarrow y=y^{\prime} \)

Somit ist: \( g(y)=g\left(y^{\prime}\right) \) mit \( y=y^{\prime} \)

und \( g \) ist injektiv.

Wenn \( g \) o \( f \) surfektiv ist und \( g \) injektiv, dann ist \( f \) surjektiv.

\( g \circ f \) ist surjektiv: \( y=f(x), g(y)=z, z=g(y) \) und \( z^{\prime}=g(y) \)

\( g \) ist injektiv: \( g(y)=g\left(y^{\prime}\right) \) mit \( y=y^{\prime} \)

Es ist: \( y=y^{\prime} \) und somit auch \( y=f(x), y^{\prime}=f(x) \) mit \( f(x)=f(x) \)

und \( g(y)=z=z^{\prime}=g\left(y^{\prime}\right) \) 

Comments

was noch fehlt: g o f müsste bijektiv sein, wenn g injektiv ist und f surjektiv sein soll ???

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bei der surjektivität sollte es heißen:

y=f(x) und y'=f(x')

und

z=g(y) und z'=g(y')

Answer 1

> \( g\circ f\) injektiv: \(g(f(x)) = g(f(x')\) mit \( x = x' \)

Es ist nicht klar, was du damit sagen willst. Soll dass für alle x und x' gelten? Oder hast du lediglich die Existenz geeigneter x und x' behauptet? Oder hast du gerade neue Variablen eingeführt?

Tipp: mehr natürliche Sprache, weniger Symbole. So etwa:

1. Beweis durch Widerspruch.

Angenommen \(g\) ist nicht injektiv. Seien dann \(x_g,x'_g \in \rm{Def}(g)\) so dass \( g(x_g) = g(x'_g) \) und \(x_g \neq x'_g \) (existieren per Definition von Injektivität). Ferner seien \(x_f,x'_f \in \rm{Def}(f) \) so dass \(f(x_f) = x_g\) und \(f(x'_f)=x'_g\) (existieren weil \(f\) surjektiv ist).

Wegen \(x_g \neq x'_g \) ist \(f(x_f) \neq f(x'_f) \), also auch \(x_f \neq x'_f \).

Nun gilt \( g\circ f(x_f) = g(x_g) = g(x'_g) = g\circ f(x'_f) \) mit \(x_f \neq x'_f \), also ist dann auch nicht \(g\circ f\) injektiv.

Comments

danke! und das werde ich mir merken. kannst du mir noch etwas zu der zweiten sagen?

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Ich kenne die Aufgabenstellung nicht. Heist sie "Beweise oder widerlege ...", dann würde ich aus pädagogischen Gesichtspunkten vermuten, dass 2. falsch ist und nach einem Gegenbeispiel suchen. Heist sie "Beweise ...", dann würde ich in meinem Fundus an Beweistechniken kramen um nach einem Beweis zu suchen.

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also eigentlich ist es zum ankreuzen wahr / falsch

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g(x) = ln x, f(x) = x²

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und dann ist g o f bijektiv oder? also ist es schon falsch weil für g o f nur surjektivität vorausgesetzt wurde?

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vergessen: es heißt: Sind die Aussagen wahr oder falsch? Als Aussage ist ja dann auf jeden fall falsch oder?

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ln(x²) und ln(x) ist doch nicht nach oben beschränkt oder?

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ok ich sehe es...g o f ist surjektiv, aber nicht injektiv

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ok aber in ganz R ist f(x)=x² nicht surjektiv?

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in ganz R wäre doch g o f (x) = g(f(x) = g(x²) = ln(x²)

in ganz R ist ln(x²) ist surjektiv, ln(x) injektiv, f(x)=x² nicht injektiv, nicht surjektiv oder?

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achso ich muss die Mengen A, B und C benutzen...ok danke

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halt: ln(x²) ist nicht surjektiv da es nach oben beschränkt ist?

sorry ich mache ein fenrstudium und muss mir alles selbst bei bringen und verwirrt michselbst imemr mal

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Meine Idee war:

        g: (0, ∞) → ℝ, x↦ln x ist injektiv wie in der Aufgabe gefordert.

        f: ℝ → ℝ, x ↦ x² ist nicht surjektiv, im Widerspruch zur Behauptung

        g·f: ℝ→ℝ, x ↦ ln x² ist surjektiv, wie in der Aufgabe gefordert.

Problem dabei ist, dass so die Verkettung g·f überhaupt nicht gebildet werden kann. Dazu müsste

        f: ℝ\{0} → (0, ∞), x ↦ x² verwendet werden. Dann ist f aber surjektiv.

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danke für die antwort: ) wie ist es eigentlich damit dass g o f surjektiv ist müsste doch folgen dass g auch surjektiv ist?

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habe nochmal den anfang geändert...

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so vielleicht?

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aber eigentlich ist die Aussage dann falsch: Wenn g o f surjektiv ist, und g bijektiv ist, dann ist f surjektiv.

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oder eher: wenn g o f surjektiv ist, und g bijektiv, dann kann f surjektiv sein.