Anspruchsvoller Doppelbruch ausschliesslich Variabeln welche Regel missachte ich?

Question

$$\frac { m }{ m+n } -\frac { n }{ n-m } \div \frac { 1 }{ (m+n)^{ 2 } } +\frac { { 1 } }{ (m-n)^{ 2 } }$$

Ich komme nie auf ein Richtiges Resultat wie meine Mitschüler, das Resultat sollte $$2(m^2+n^2)$$ sein. Falls das die Mitschüler richtig gerechnet haben. 

Eigentlich ist diese Aufgabe im Doppelbruch dargestellt, ich habe sie per Editor mit einem Divisionszeichen hingeschreiben. Das heisst sie werden mit dem Kehrbruch multipliziert. 

Ich sehe dass die Brüche auf der linken Seite erweitert bzw. gleichnennrig gemacht werden müssen, damit man sie subtrahieren darf. 

So viel ich weiss, ist der Kehrbruch dann gleichnennrig (Eintel) und darf ausmultipliziert addiert werden. 

Ich denke ich mache irgendwo am Anfang beim Subtrahieren des Ersten Bruches einen Vorzeichenfehler vor der Klammer aber habe nirgendwo eine Erklärung gefunden. Ich arbeite alleine und habe erst nächste Woche Nachhilfe.

Vielen Dank für die Hilfe ! 

Answer 1

(m/(m + n) - n/(n - m)) / (1/(m + n)^2 + 1/(m - n)^2) = (m + n)·(m - n)/2

Zähler:

m/(m + n) - n/(n - m)

= m/(m + n) + n/(m - n)

= (m·(m - n) + n·(m + n))/((m + n)·(m - n))

= (m^2 + n^2)/((m + n)·(m - n))

Nenner

1/(m + n)^2 + 1/(m - n)^2

= ((m - n)^2 + (m + n)^2)/((m + n)^2·(m - n)^2)

= 2·(m^2 + n^2)/((m + n)^2·(m - n)^2)

Man teilt durch einen Bruch indem man mit dem Kehrbruch multipliziert

(m^2 + n^2)/((m + n)·(m - n)) · ((m + n)^2·(m - n)^2)/(2·(m^2 + n^2))

= (m + n)·(m - n) / 2

Comments

Vielen Dank für den Lösungsweg auch, jetzt sehe ich was ich falsch gemacht habe ! 

Beim Zähler hast du aus dem minus ein plus gemacht, und dann die zeichen in der Klammer umgedreht, so konntest du dann Sauber addieren, das wusste ich nicht.

also -n/(n-m) ist gleich +n/(m-n) 

Welche Regel der Mathematik ist das ? Ich habe schon geschaut nach Minus vor Klammer aber dann sehe ich nur dass ich bei einem Minus vor der Klammer die Zeichen in der Klammer umdrehen darf.

Wo kann ich mich diesbezüglich weiter informieren damit mir dieser Fehler in Zukunft nicht mehr passiert? 

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Distributivgesetz

- (a - b)

= -1 * (a - b)

= -1*a - (-1)*b

= -a + b

= b - a

= (b - a)

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Das heisst, wenn ich beispielsweise vor dem Bruch ein minus habe setzte ich den betreffenden Bruch in eine Klammer, und tausche innerhalb der Klammer die vorzeichen ? 

$$-\frac { a-b }{ d-c } \quad =\quad -\left( \frac { a-b }{ d-c }  \right) \quad =\quad +\frac { b+a }{ c-d }$$ 

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Beachte ein Minus vor dem Bruch kannst du entweder in den Zähler schreiben oder in den Nenner

- (a - b) / (d - c) = (b - a) / (d - c)

- (a - b) / (d - c) = (a - b) / (c - d)

Benutze sonst https://www.wolframalpha.com/ um Terme umzuformen. Oder die Gleichheit zu überprüfen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-+(a+-+b)+%2F+(d+-+c)+%3D+(b+-+a)+%2F+(d+-+c)

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Ahh jetzt hab ich es verstanden ! Vielen Dank ! :)

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Bei meinem Rechenbeispiel oben dem Doppelbruch hast du also das Minuszeichen vor den Nennergesetzt und gemäss Distributivgesetz ausgerechnet. Wenn ich nicht zu viel Frage und du noch Geduld hast, würde es mir helfen zu verstehen wieso dann aus dem nach unten Gesetzten minus ein Plus vor der Klammer entsteht? 

Aha nein, habs gerade selber herausgefunden, weil nach dem ausrechnen des Nenners kein Minus mehr übrigbleibt sondern der nenner ja Plus ist. 


ui ui ui ich sollte das ab jetzt nun im Griff haben!

Answer 2

für  [ m / (m+n) - n / (n-m) ] / [ 1 / (m+n)² + 1 / (m-n)² ]  

erhalte ich   [ (m + n) · (m - n) ]  / 2  = [ m² - n² ] / 2

Demnach müssten deine Mitschüler sich irren und dein Ergebnis könnte stimmen (?)

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank Wolfgang, die stimmt ! :)