Question

Beweise oder widerlegen Sie für beliebige Mengen A,B,C:

 a) A ⊂ B ⇔ (A ∪ B = B) ⇔ (A ∩ B = A) 

b) ¬(¬A ∪ ¬B) ∪  ¬(¬A ∪ B ) = A

Comments

So vielleicht?

a)

1.  )  A ⊂ B ,  also ist ist A eine echte Teilmenge von B und B ist eine echte Obermenge von A.

2.)  A ⊂ B ⇔ A ∪ B ist eine echte Obermenge von A → B = A ∪ B  ⇔ A ⊂ B

3.)  A ⊂ B ⇔ A ∩ B ist eine echte Teilmenge von B → A = A ∩ B  ⇔ A ⊂ B

b)

¬(¬A ∪ ¬B) ∪ ¬(¬A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ ¬B) = A ∪ A = A

Answer 1

a) Da A ⊂ B haben wir dass wenn x ∈ A dann x  ∈ B.
Das bedeutet dass A ∪ B=B.

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A und x ∈ B.

Also wollen wir dass x gleicheitig in A und in B ist. Da A ⊂ B, folgt es dass  x ∈ A und x ∈ B gilt wenn x ∈ A.

Hilft dir das weiter?

Answer 2

Vermutlich müsst ihr das ganz pingelig ausführen, etwa so:

zu  A ⊂  B ⇒ A ∪ B = B 

Sei also  A ⊂ BDann ist eine Mengengleichheit zu beweisen.

Das geschieht in 2 Schritten

1.  A ∪ B ⊂  B          2. A ∪ B ⊃ B 

zu 1. Sei x aus   A ∪ B     dann gilt x aus A  oder   x aus B

 in beiden Fällen gilt x aus B ,denn für   x aus A gilt wegen  A ⊂ B  auch  x aus B

und bei  x aus B  steht es eh schon da.

Damit ist 1. erledigt.

2. Sei x aus B  , dann ist auch x aus A ∪ B .

Also ist 1 und 2 gezeigt und damit    A ∪ B = B  .

Nun kommt  :A ∪ B = B    ⇒   A ∩  B = B 

auch hier wieder die Mengengleichheit in zwei Teilen beweisen .

Dann kommt    A ∩  B = B   ⇒   A ⊂  B .

Und damit wäre dann die Äquivalenz der drei Aussagen


bewiesen.