Frage zu komplexen Zahlen z_1= 4+3i ; z_2=re^{iφ}

Question

Wie groß muss der Realteil/Imaginärteil sein, wenn: z= re^iφ ?

Wie groß ist Re(z)/Im(z), wenn z₁z₂? (z₁= 4+3i ; z₂=re^iφ)

EDIT (Kopie aus Kommentar) "Die Frage heißt genau: Wie groß sind Real-und Imaginärteil des Produkts z₁z₂? "

Was hat es mit r und φ auf sich? Ist mit r eine beliebige Zahl gemeint? Oder ist das die Radialkoordinate? Wenn r = Radialkoordinate, ist dann φ= Polarwinkel?

Hoffe einer/eine von euch kann mir das bitte einfach erklären, wie man zur Lösung kommt. Diesen Themenbereich "Imaginärteil, Realteil" hatten wir schon eine Ewigkeit nicht mehr gelernt.

Von direkten Lösungen bitte abschweifen.

Gruß

Comments

EDIT: Meintest du 

"Wie groß ist Re(z)/Im(z), wenn z = z₁z₂? (z₁= 4+3i ; z₂=re^iφ) "

? 

---

An Lu:

Die Frage heißt genau: Wie groß sind Real-und Imaginärteil des Produkts z₁z₂?

Mein Ansatz: (4+3i)·(re^iφ) = 4re^iφ+3i·re^iφ (Da stimmt doch was nicht, oder? Hatten dieses Thema leider nie im Abi.)

---

z=\(re^{i\phi}\) ist eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten. Es gibt natuerlich auch eine Darstellung \(z=x+iy\) in kartesischen Koordinaten. Hast Du inzwischen die Skizze gemacht, aus der man die Umrechnung ablesen kann?

---

Die Skizze hab ich nicht gemacht, aber ich denke ich habe es jetzt raus.

Real-/Imaginärteil von z=re^iφ

Hab zuerst, wie du schon erwähnt hast, die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umgewandelt:

z = re^iφ = r(cos(φ)+isin(φ)) = rcos(φ)+irsin(φ)

Dann muss Re(z) = rcos(φ) sein und Im(z) = rsin(φ) sein, oder?

Der Betrag ist dann: /z/ = r

Die Phase / das Argument: Arg(z) = φ

Nun zu z₁z₂:

z₁z₂=(rcos(φ)+irsin(φ))·(4+3i)

= (4rcos(φ)-3rsin(φ))+i(4rcos(φ)+3rsin(φ)

Ab diesem Schritt habe ich jedoch keine Ahnung mehr, vorallem weiß ich nicht wie ob das richtig ist, und wenn ja, wie man es weiter vereinfacht und wie ich den Real-/Imaginärteil bestimmen soll.

---

@Mangekyö: Ich habe "Die Frage heißt genau: Wie groß sind Real-und Imaginärteil des Produkts z₁z₂?" jetzt bei der Frage ergänzt.

D.h. man muss dann nicht noch dividieren und weiss jetzt, was zu berechnen ist.

---

Die Multiplikation wuerde ich noch mal machen. Ansonsten: Was soll da jetzt noch gross kommen? Du hast eine Darstellung des Produktes in der Form \(a+ib\) mit \(a,b\in\mathbb{R}\) gefunden. Da ist dann \(a\) der Realteil und \(b\) der Imaginaerteil.

---

@Fakename: Was meinst du genau? Ich sehe gerade keinen Fehler bei der Multiplikation.

---

Dankeschön für Deine Antwort.

"Die Multiplikation wuerde ich noch mal machen." Meinst du damit, dass meine Produkt falsch ist und somit der Realteil nicht 4rcos(φ)-3rsin(φ) und Imaginärteil nicht 4rcos(φ)+3rsin(φ) ist?

Gruß

---

(rcos(φ)+irsin(φ))·(4+3i) = (4rcos(φ)-3rsin(φ)) + i (4rsin(φ)+3rcos(φ))

Einfach rechnen, nicht raten.

Answer 1

Wie Du selber sagst: "r = Radialkoordinate, ... φ= Polarwinkel."

Comments

Danke für deine Antwort, aber hilft mir leider immer noch nicht ganz weiter.

---

Das war die Antwort auf die einzige Frage in Deinem Text, die ich finden konnte.

---

Sorry, dann versuch ich es anders: Wie muss ich bei der Gleichung z= re^iφ vorgehen, um den Realteil und Imaginärteil zu bestimmen? Das r = Radialkoordinate heißt und φ = Polarwinkel ist, weiß ich ja jetzt, bringt mich aber nicht nach vorne.

Gruß

---

Komplexe Zahlen z=x+iy kann man sich als Punkte (x,y) in der Ebene vorstellen. x ist der Realteil, y ist der Imaginaerteil. Mach Dir eine Skizze dazu. Da siehst Du dann auch, wie man Polarkoordinaten in kartesische umrechnen kann.

---

Perfekt, vielen Dank für deine Antwort.

---

Hoffe ich störe nicht, aber wie muss man nun bei z₁z₂ vorgehen, um den Imaginärteil und Realteil zu bestimmen?

---

Erst musst Du multiplizieren. Da gelten die bekannten Regeln. Die einzige, die neu dazukommt, ist i²=-1. Und dann eben vom Produkt Real- und Imaginaerteil bestimmen. (Falls das die Aufgabe ist. Lies selber noch mal durch, was Du da zusammengetippt hast.)

Answer 2

Nun zu z₁z₂:

z₁z₂=(rcos(φ)+irsin(φ))·(4+3i)

= (4rcos(φ)-3rsin(φ))+i(4rsin(φ)+3rcos(φ))  EDIT(Lu). 

Ab diesem Schritt habe ich jedoch keine Ahnung mehr, vorallem weiß ich nicht wie ob das richtig ist, und wenn ja, wie man es weiter vereinfacht und wie ich den Real-/Imaginärteil bestimmen soll.

Jetzt musst du nur noch ablesen: 

Re(z1*z2) =  4rcos(φ)-3rsin(φ) 

Im(z1*z2) = 4rsin(φ)+3rcos(φ)

Comments

Danke für Deine Antwort. Würd' dir gern ein Pluspunkt geben, aber da steht ständig "A database error occured" :(

---

Kein Problem wegen dem Punkt. Falls das Problem bei einem Neustart immer noch besteht, kannst du das ja mal im Formular von mathelounge melden. - Keine Ahnung, ob das mit dem Umzug auf https zusammenhängt?

---

Ich glaube eher nicht. Wollte nämlich auch Fakename ein Pluspunkt geben - hier hat es funktioniert.