Parabel Ortslinien Leitgerade Brennpunkt

Question

Aufgabe 1)

Gegeben sind der Punkt P und die Gerade g . Gesucht sind alle Punkte Q mit d(P|Q) = d(g|Q). ( Kurz : Ortslinie K)

2.1  Es habe speziell nach Wahl eines kKS der Punkt P die Koordinatendarstellung (0|5) und die Gerade g habe die Gleichung y = 1.

Bestimmen Sie eine einfache Gleichung der Ortslinie K.
Konstruieren Sie auch einige Lösungspunkte mit Zirkel und Geodreieck.

Prüfen Sie, ob Zeichnung und Rechnung zueinander passen.

Aufgabe 2)

Gegeben sind der Punkt F und die Gerade l . Gesucht sind alle Punkte Q mit d(F|Q) = d(l|Q). Alle Lösungspunkte ergeben dann als Ortslinie die Kurve P, die als Parabel bezeichnet wird.


Bezogen auf ein 2D-kKS sei die Punktmenge K mit der Gleichung y =1/4x^2 -x+2
Zeigen Sie: Im Sinne der Elementargeometrie ist K eine Parabel.
Bestimmen Sie dazu die Koordinaten ihres Brennpunkts F und die Gleichung ihrer Leitgerade l. Weisen Sie die für die Parabel charakteristische Abstandsbedingung für zwei verschiedene Punkte von K explizit nach.

Answer 1

Aufgabe 1) Der Punkt Q habe die Koordinaten (x|y). Der Abstand zwischen Q und g ist der Betrag der Differenz der y-Koordinaten. Den Abstand zwischen Q und P kannst du mit Pythagoras ermitteln. Setze ie beiden Abstände gleich und forme nach y um.

Aufgabe 2) Gesucht ist der Brennpunkt F(x_F|y_F) und die Leitgerade l(x) = y_l. Die x-Kooridnates des Brennpunktes ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes von K. Um y_F und y_l zu bestimmen Wähle zwei Punkte auf der Parabel und setze sie in die Gleichung d(F|Q) = d(l|Q) ein. Löse das so entstandene Gleichungssystem. Die Formeln für d(F|Q) und d(l|Q) habe ich in Aufgabe 1 beschrieben.