sei \( B = \{ b = f(x) : x \in D \} \) das Bild der Funktion \( f \). Da \( f \) beschränkt ist, gibt es eine minimale obere und eine maximale untere Schranke von \( B \), \( b_{\sup} = \sup(B) = \sup(f) \) und \( b_{\inf} = \inf(B) = \inf(f) \).
Sei \( b_0 \) mit \( b_{\inf} < b_0 < b_{\sup} \) das erste Glied zweier monotoner Folgen \( b_{\sup, i} \) und \( b_{\inf, i} \) mit \( b_{\sup, i} \rightarrow b_{\sup} \) und \( b_{\inf, i} \rightarrow b_{\inf} \).
Wegen der Monotonie der Folgen ist \( c_i = b_{\sup, i} - b_{\inf, i} \) monoton wachsend und hat den Grenzwert \( c = b_{\sup} - b_{\inf} \).
Diese Folge ist zudem immer echt kleiner oder gleich ihrem Grenzwert, \( c_i \leq c \). \( c \) bildet also das Supremum der Menge aller Folgenglieder, \( c = \sup\{c_i\} \).
Das heißt
\( c = \sup\{ b_{\sup, i} - b_{\inf, i} \} = \sup_{x, x' : f(x') \leq f(x)}\{ f(x) - f(x') \} \)
\(= \sup_{x, x'}\{ | f(x) - f(x') | \} \)
und
\( c = b_{\sup} - b_{\inf} = \sup(f) - \inf(f) \).
Folglich ist
\( \sup\{ | f(x) - f(x') | \} = c = \sup(f) - \inf(f) \).
Dies entspricht der geforderten Aussage.
Mister
