Für welche a, b € R ist das LGS lösbar mit Lösungsmenge

Question

Für welche a, b ∈ R ist das über R gegebene LGS lösbar, im fall der Lösbarkeit Lösungsmenge bestimmen.

x1   +   2x2               -   x4   = 2

x1  +    2x2    +  x3 +   x4   =  1

2x1  +  4x2   +  x3 +  ax4  =  5

-2x1  -  4x2  + 3x3  -  4x4 =  b

ich mache hier gleich weiter der treppennormalform...ich wollte wissen ob die tnf stimmt und was mit dem rest der aufgabe ist. habe den weg zur tnf nicht extra aufgeschrieben kann ich aber noch ergänzen. danke für antwort(en) : ))

Answer 1

Hallo gollumgollumgirl,

unabhängig Deiner Rechnenfehler muss eine TNF oberhalb der Pivotpositionen nur 0 haben. Außerdem muss ein Pivot eine 1 sein und kein a (wie bei Wolfgang). Richtig gerechnet ergibt sich

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & | & {2a+2 \over a} \cr 0 & 0 & 1 & 0 & | & {-a-4 \over a} \cr 0 & 0 & 0 & 1 & | & {2 \over a} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & | & 24+7a+ab \cr \end{pmatrix} $$

Grundsätzlich muss gelten: \( a \neq 0 \). (Es ist falsch zu sagen, für \( a=0 \) ergibt sich keine Lösung, denn für \( a=0 \) darfst Du überhaupt nicht rechnen (sozusagen Definitionslücke)).

Wegen \( rang(A) = 3 \) kann genau 1 Lösung nicht sein.

Für \( 24+7a+ab \neq 0 \) gilt \( rang(A) \neq rang(A|B) \), damit keine Lösung.

Für \( 24+7a+ab = 0 \) gilt \( rang(A) = rang(A|B) = 3 \), damit unendlich viele Lösungen, mit

$$ L = \left\{ {1 \over a} \begin{pmatrix} 2a+2\cr 0\cr -a-4\cr 2\cr\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\cr -1\cr 0\cr 0\cr \end{pmatrix} \cdot k \right\} $$

Grüße,

M.B.

Comments

danke: ) bei mir war das a nur in der matrix A drin...deswegen habe ich es zu 0 gemacht.

diese tnf ist ja ganz schön aufwendig und vergesse ich jedes mal das oberhalb null stehen soll hoffe ich merke es mir.

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was uns nicht gefällt lassen wir einfach weg oder machen es zu 0. Das ist eine interessante Herangehensweise.

Grüße,

M.B.

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es steht doch da wenn a=0 dann ergibt es eine nullzeile mit koeffizient ungleich null

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Hallo gollumgollumgirl,

mit \( a=0 \) hast Du eine unerlaubte Division und sonst gar nichts.

Du musst das System als Ganzes betrachten. Du kannst nicht sagen, in der letzten Zeile ist es erlaubt, aber in den drei oberen ist es verboten.

Grüße,

M.B.

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hm ??? ich hab eine ganz andere tnf erstellt als du in meiner tnf ist a = 0 und eine division durch a gibt es in meiner rechnung nicht

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"eine andere TNF" ist ein Widerspruch in sich, da die TNF eindeutig ist. Du hast höchstens etwas, wovon Du denkst, es sei eine TNF, aber es in Wirklichkeit doch nicht ist, also rechne lieber nochmal nach.

Grüße,

M.B.

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ok ich hatte eine andere tnf wo ich aber nur dachte es ist eine aber in wirklichkeit doch nicht , die tnf ist falsch es gibt eine andere und eindeutige tnf und ich werde nochmal nachrechnen.

Answer 2

Hallo gggirl,

; trennt Matrixzeilen:

Ausgangsmatrix:

[1, 2, 0, -1, 2 ; 1, 2, 1, 1, 1 ; 2, 4, 1, a, 5 ; -2, -4, 3, -4, b]        ( ≠ -2  bei deiner Lösung ) 

wenn du beim Gauß-Algorithmus bei jedem Schritt die aktuelle Zeile durch die Summe aus dieser Zeile und einem  passenden Vielfachen der Pivotzeile (= 1.Zeile, in der vor dem Diagonalenelement [≠0 ]  nur Nullen stehen) ersetzt, erhält man:

[1, 2, 0, -1, 2 ; 

0, 0, 1, 2, -1 ;

0, 0, 0, a, 2 ; 

0, 0, 0, 0, 24/a + b + 7 ]

Das System hat keine Lösung für a = 0  und für  b ≠ -24/a - 7 

unendlich viele Lösungen für a≠0 und b = -24/a + 7 :  

Z3 →  x₄ = 2/a

z2 →  x₃ = -1 - 4/a  und x₂ beliebig

z1 →  x₁ = 2 + 2/a - 2x₂

Lösungen:  [  2 + 2/a - 2x₂  ;   x₂  ;   -1 - 4/a  ;   2/a ]   mit x₂ ∈ ℝ  beliebig

Gruß Wolfgang

Comments

wenn ich es hier eingebe https://www.matheretter.de/rechner/lgs war meins falsch und wenn ich zB a=2 und b=-5 kommt aber auch -keine lösung- raus...muss ich es anders eingeben oder spinnt dieses programm?

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schau mal nach rot in der 1. Zeile der Antwort

bei mir:

a = 2 und  b = -5  →  keine Lösung da   b ≠ -24/a - 7 

a= 2  und   b = -19  →  [ 3 - 2x₂  , x₂  , -3 , 1 ]

wähle irgendein x₂ und gib es ein