Kann es in der Ergebnismenge Elemente mit der Wahrscheinlichkeit 0 geben?

Question

Oft steht in der Literatur, dass den Elementen x_i in der Ergebnismenge die Wahrscheinlichkeiten p_i zugeordnet werden mit der Eigenschaft   0 ≤ p_i ≤ 1.

Warum ist hier die Null auch möglich? Wenn ein Element die Wahrscheinlichkeit 0 hat, sollte es doch gar nicht in der Ergebnismenge sein, oder?

Answer 1

> Warum ist hier die Null auch möglich?

Weil Null eine gültige Wahrscheinlichkeit ist.

Um die gleiche Ergebnismenge für unterschiedlliche Experimente zu verwenden. Zu Beispiel kann als Ergebnismenge eines Würfelwurfes die Menge er natürlichen Zahlen gewählt werden, unabhngig von der Anzahl der Seiten des Würfels.

Um mehr Flexibilität zu haben. Man darf dann Elemente in die Ergebnissmenge mit aufnehmen, die unmöglch eintreten können, mann muss es aber nicht.

Comments

Hallo Oswald,

Zuerst einmal verwendest Du Begriffe falsch. Ein Würfel ist ein exakt definiertes Objekt u.a. mit 6 quadratischen Seiten. Das andere sind z.B. Tetraeder, Oktaeder, Isokaeder, etc. Diese werden dann auch nicht "gewürfelt", sondern "geworfen".

Der Ergebnisraum (Ergebnismenge) ist definiert als die Menge aller möglichen Ausgänge eines Versuchs. Beim Würfel sind das die Augenzahlen 1 bis 6, beim Tetraeder von 1 bis 4. Du kannst nun nicht einfach für einen Tetraeder den Ergebnisraum des Würfels nehmen und den Augenzahlen 5 und 6 die Wahrscheinlichkeit 0 zuordnen, da die Wahrscheinlichkeit über (Urbild)funktionen bestimmt wird.

Noch blödsinniger ist die Vorgehensweise, für alles, was Zahlen hat und geworfen wird, einfach \( \Bbb N \) als Ergebnisraum zu verwenden, weil Du hier zudem endliche und unendliche Mengen nach Lust und Laune (und völlig falsch) vermischst, und eine Berechnung von Wahrscheinlichkeiten damit nicht mehr möglich ist.

Grüße,

M.B.

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> Ein Würfel ist ein exakt definiertes Objekt u.a. mit 6 quadratischen Seiten.

In der Geometrie stimme ich dir zu. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehe ich das ein wenig lockerer.

> Du kannst nun nicht einfach für einen Tetraeder den Ergebnisraum des Würfels nehmen und den Augenzahlen 5 und 6 die Wahrscheinlichkeit 0 zuordnen.

Ich habe mit diesem Vorgehen noch keinen Widerspruch zu den Kolmogorow-Axiomen gefunden. Falls du einen gefunden hast, dann bin ich für eine Aufklährung dankbar.

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das wohl primitivste Beispiel findet sich bereits bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis \( A \) mit \(P(A) = {|A| \over |\Omega|} \). Dazu müssen \( \Omega \) und seine Größe exakt bekannt sein.

Und ein Würfel ist immer ein exakt definiertes Objekt.

Grüße,

M.B.

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> \( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \)

Das gilt nur dann für jedes A ⊂ Ω, wenn P(a) = P(b) für alle a,b∈Ω ist. Es muss aber nicht P(a) = P(b) für alle a,b∈Ω sein, nicht jedes Experiment ist ein Laplace-Experiment. Ich sehe keinen Widerspruch zu den Kolmogorow-Axiomen.