Lineare Un/Abhängigkeiten

Question

Folgende Frage:

Für die Körper $$\mathbb{K}  = \mathbb{Q} ,\mathbb{K} = { \mathbb{F} }_{ 2 } $$ finde man ein minimales Erzeugendensystem S' ⊂ S von <S>, wobei:

 S= {
( 1 // 1 // 0 // 1 // 1 )
( 0 // 0 // 1 // 1 // 0 )
( 0 // 1 // 0 // 0 // 0 )
( 1 // 0 // 0 // 1 // 1 )
( 1 // 0 // 1 // 0 // 1 ) }

[Es sollte in der Vektor Schreibeweise sein, ich habe es mit dem Formeleditor nicht ansprechend hinbekommen:
$$\left( 1\\ 1\\ 0\\ 1\\ 1 \right) $$etc.]

Also der Körper K enthält die Rationalen Zahlen und hat die Charackteristik 2.

Heisst das nun, ich muss eine Menge aus S finden, mit der ich ich jede Linearkombination von S erstellen kann? Und als meinen multiplikativen Faktor λ darf ich nur 0 und 1 benutzen, wegen der Charackteristik 2? Ist das richtig soweit?

Wie löst man das Problem nun?

Schon mal Danke

Comments

> Also der Körper K enthält die Rationalen Zahlen und hat die Charackteristik 2

Von welchem K sprichst du? K = ℚ hat nicht die Charakteristik 2. K = F₂ enthält keine rationalen Zahlen.

Du hast zwei Werte für K gegeben. Das  erkennst du zum Beispiel an dem Plural in der Formulierung "Für die Körper ...". Für jeden dieser Körper sollst du ein minimales Erzeugendensystem S' ⊂ S von <S> finden.

Answer 1

> Heisst das nun, ich muss eine Menge aus S finden, mit der ich ich jede Linearkombination von S erstellen kann?

Nicht nur das. S selbst hat trivialerweise diese Eigenschaft. Vielmehr muss diese Menge auch minimal sein. Das heißt, entfernt man einen Vektor aus dieser Menge, dann kann man nicht mehr jede Linearkombination von S erstellen.

> Und als meinen multiplikativen Faktor λ darf ich nur 0 und 1 benutzen, wegen der Charackteristik 2?

Für den Fall K=F₂ ist das so.

Für den Fall K=ℚ darfst du jede rationale Zahl als multiplikativen Faktor λ benutzen.

> Wie löst man das Problem nun?

Versuche den letzten Vektor als Linearkombination der ersten darzustellen. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf. Falls das lösbar ist, dann entferne den letzten Vektor und verfahre ebenso mit den restlichen Vektoren. Falls es nicht lösbar ist, dann versuche den vorletzten Vektor als Linearkombination der anderen darzustellen. Und so weiter.