Hallo Fronliner (alter Kumpel :-),
L ∩ (M ∪ N) ⇔ (L ∩ M) ∪ (L ∩ N) ist keines der beiden Gesetze von de Morgan (#) sondern eines der beiden Distributivgesetze für ∩ bzw. ∪.
Sei l := x∈L ; m:= x∈M ; n := x∈L
Dann gilt
L ∩ (M ∪ N) ⇔ (L ∩ M) ∪ (L ∩ N)
⇔ l ∧ ( m ∨ n ) ↔ ( l ∧ m) ∨ ( l ∧ n ) [ nach Definition von ∩ bzw. ∪ ]
Das ist eines der beiden Distributivgesetze für ∧ bzw. ∨
Wenn du diese nicht verwenden darfst, sehe ich nur noch die Möglichkeit des grundlegenden Beweises mit einer Wahrheitstafel:
[ die Farben in den Zeilen der WT dienen nur der besseren Orientierung ]
l m n m∨n l∧(m∨n) l∧m l∧n (l∧m) ∨ (l∧n)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Da diese aussagenlogischen Terme für alle Belegungen mit Wahrheitswerten übereinstimmen, sind sie gleichwertig.
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# Gesetze von de Morgan:
\(\overline{A∩B}\) = \(\overline{A}\) ∪ \(\overline{B}\) bzw. \(\overline{A∪B}\) = \(\overline{A}\) ∩ \(\overline{B}\)
Gruß Wolfgang
