Wesentliche Eigenschaften einer Potenzfunktion

Question

Wir sollen einen Vortrag über Potenzfunktionen halten f(x)=x^q, q rationale Zahl.

Ich soll den 2. Punkt bearbeiten

zur Symmetrie und Montonie habe ich was aber zu den restlichen Eigenschaften leider nichts... Es kommt doch immer auf die Funktion an, ob q gerade oder ungerade, positiv oder negativ ist usw. Was kann ich da hinschreinen ohne den anderen vorab, was wegzunehmen? Was kann man allgemein dazu alles schreiben?

Comments

ich vermute, dass ihr ganze Zahlen im Exponenten bereits behandelt habt, und ihr euch auf gebrochene Exponenten beschränken könnt.

Da gibt es aber zu Punkt 2 nicht viel zu sagen. Und das meiste, was ihr sagt hängt davon ab, wie der Definitionsbereich (Punkt 1) festgelegt wurde.

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion#Definitions-_und_Wertemenge

und hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Rationale_Exponenten

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Ich verstehe es einfach nicht.... Je mehr ich micht damit beschäftige, desto weniger verstehe ich. In Wikipedia wird das so geschrieb, als könnte man bestimmen, ob man negative Wurzeln zulässt oder nicht... Ich dachte man kann generell keine negativen Wurzeln ziehen??  Bitte um schnelle Antwort

Answer 1

Nullstellen bei positivem Exponenten bei 0,  bei  x⁰ keine

(falls das überhaupt dazu zählt), bei negativen Exponenten

auch keine.

y-Achs.ab.:   Bei pos. Expo:   0   (geht halt durch (0;0) )

bei   x⁰   ist es die 1 und

bei neg. Expo. gibt es keine ( wie der Vorredner schon

ausführte   0 nicht im Def.ber.

Bei den geraden nat. Zahlen als Expo. ist immer bei (0;0) einlok. und globaler Tiefpu.  bei echte pos. Bruchzahlen als Expo.  auch.

Bei x^0 ist jeder Punkt lok. und glob. Hoch oder Tiefpu. (konstante Fkt).

Bei neg. Exponenten keine Extrempunkte .

Wendestellen nur bei positiven ganzen ungeraden Exponenten '

dann im Nullpunkt.

Comments

Was ist eig. mit Brüchen im Nenner? Z.b x^{3/7} oder x^{2/3}?

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Kann man das irgendwie beweisen, dass es nur bei positiven ganzen ungeraden Zahlen Wendepunkte gibt? Sorry habe das mit den Brüchen erst eben gesehen^^. Danke für deine Hilfe!

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Ich glaub schon, denn für x^k ist ja die Ableitung kx^k-1   und die zweite  k(k-1)*x^k-2  


Damit das 0 wird, muss k oder k-1 oder  x^k-2     gleich 0 sein.

k=0   oder k=1   da sind es Geraden, die bestehen (je nach Def. ) aus lauter

Wendepunkten oder haben gar keinen.

x^k-2  = 0  geht nur für x = 0 und   einem ganzzahligen Exponenten , der größer 2 ist.

Denn bei Bruchzahlen liegt 0 am Rande des Def. Bereiches und Wendepu. muss

immer im Inneren liegen.

Bei neg. Expo. ist es bei 0 nicht def.

Wenn  nun k>2 ist und gerade, dann ist k-1 ungerade und damit hat

die erste Ableitung bei 0 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, also

ist dort ein Extrempunkt. 



 


 

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Könntest du kurz drüberschauen?

Symmetrie:

Falls Wurzel aus negativen Zahlen nicht erlaubt nur:

Potenzfunktionen x^q mit q Element von Z

gerade q -> achsensymmetrisch zu y-Achse

ungerade q - punktsymmetrisch zum Ursprumg

Falls Wurzel aus negativen Zahlen erlaubt (sehr unsicher)

q=m/n

n ungerade -> punktsymmetrisch zum Ursprung(?) (z.b x^{-1/7})

gibt es hier noch bei bestimmten Bedinungen eine Achsensymmetrie?

Monotonie:

Df=R+0

q>0 im ganzen Df streng monoton steigend

q<0 im ganzen Df streng  monoton fallend

Wie siehts eigentlich im 2 Quadranten aus?

Nullstellen:

Alle Potenzfunktionen x^q mit pos Expo haben eine Nullstelle bei x=0

negative Expo keine Nullstelle (Asymptotischer Verlauf)

y-Achsenabschnitt:

pos.Expo -> y=0

neg. Expo berührt y Abschnitt nicht (Aasymptotischer verlauf

Extremstellen

gerade nat. Zahlen als Expo und bei echten pos. Bruchzahlen (Was meinst du eigentlich mit echten pos Bruchzahlen?)

Neg. Keine extrempunkte

Wendepunkte

Nur bei pos. ganzen Ungeraden Exponenten

Könnt ihr euch bitte das einmal angucken und korrigieren oder ergänzen? Wäre euch sehr dankbar!

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Soweit ganz ok, aber wäre es nicht besser


2 Teile zu machen :   

ganzzahlige und gebrochene ExponentenDas ist doch m.E. das wesentliche Unterscheidungsmerkmal


bei allen Eigenschaften.Symmetrie:

Falls ( besser weil) Wurzel aus negativen Zahlen nicht erlaubt nur:

Potenzfunktionen x^q mit q Element von Z

gerade q -> achsensymmetrisch zu y-Achse

ungerade q - punktsymmetrisch zum Ursprung

Falls Wurzel aus negativen Zahlen erlaubt (sehr unsicher)

für reelle x-Werte nicht möglich !

q=m/n

n ungerade -> punktsymmetrisch zum Ursprung(?) (z.b x^-1/7)

gibt es hier noch bei bestimmten Bedinungen eine Achsensymmetrie?

Monotonie:

Df=R+0

q>0 im ganzen Df streng monoton steigend

q<0 im ganzen Df streng  monoton fallend

Wie siehts eigentlich im 2 Quadranten aus?

Nullstellen:

Alle Potenzfunktionen x^q mit pos Expo haben eine Nullstelle bei x=0

negative Expo keine Nullstelle (Asymptotischer Verlauf)

y-Achsenabschnitt:

pos.Expo -> y=0

neg. Expo berührt y Abschnitt nicht (Aasymptotischer verlauf

Extremstellen

gerade nat. Zahlen als Expo und bei echten pos. Bruchzahlen (Was meinst du eigentlich mit echten pos Bruchzahlen?)

Neg. Keine extrempunkte

Wendepunkte

Nur bei pos. ganzen Ungeraden Exponenten

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Ja, eigentlich soll ich nur für gebrochene Exponenten Eigenschaften herausfinden aber da gibt es docj fast gar nichts zu.. Symmetrie kann ich ganz weglassen (oder stimmt das, dass eine punktsymmetrie vorliegt, wenn n ungerade ist?). Wendepunkt kann ich weglassen. Was bleibt denn am Ende übrig. Ist sonst alles richtig?^^ Danke für deine Hilfe! Könntest du einmal zur Symmetrie aufschreiben (oder zu einem anderen Punkt), wie du es machen würdest..?

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Ja, eigentlich soll ich nur für gebrochene Exponenten Eigenschaften herausfinden aber da gibt es docj fast gar nichts zu..gebrochene Exponenten umfasst meines Erachtens auch die ganzen, denn 3 ist ja auch  3/1  .Symmetrie kann ich ganz weglassen (oder stimmt das, dass eine punktsymmetrie vorliegt, wenn n ungerade ist?).

Ja, stimmt


Wendepunkt kann ich weglassen. Was bleibt denn am Ende übrig. Ist sonst alles richtig?^^ Danke für deine Hilfe! Könntest du einmal zur Symmetrie aufschreiben (oder zu einem anderen Punkt), wie du es machen würdest..?vielleicht so: 

Einleitung:  Da jede ganze Zahl wie etwa 3 auch eine Bruchzahl nämlich 3/1 ist, behandele ich

hier sowohl die ganzen als auch die "echt" gebrochenen Exponenten1.  ganze Exponenten:1.1 Symmetrie :    Hier gibt es unterschiedliche Symmetrien, je nach Art des ganzen Exponenten:Für ganze Exponenten , die gerade sind ( 2;4;6;   aber auch -2  -3  -4   etc ),  liegt ( wie bei einer Parabel)

Symmetrie zur y-Achse vor.  Bei den ungeraden Punktsymmetrie zum Ursprung.1.2  Extrempunkte ........... etc2. Der Sonderfall Exponent 0 gibt nicht viel her, das ist es die Funktion mit f(x) = 1 ,

allerdings ohne 0, da 0⁰ nicht definiert ist.

Also auch Symmetrie zur y-Achse


2. echt gebrochene Exponenten wie  2/3   -7/8   etc   Da ist ja dann ein Expo in der


Form   p/q  mit q ungleich 1   und nach Def . ist dann ja x p/q  die q-te Wurzel von x und das


Ergebnis hoch p.   


2.1  Symmetrie

 Da Wurzeln für negative Zahlen nicht def. sind, ist hier weder


Sym. zur y-Achse noch zum Nullpunkt vorhanden. 

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.. Ich checks einfach nicht.

x^{-1/7} ist Punktsymmetrisch, verläuft also auch im 2 quadranten.... Was passiert bei einem neg gebrochenem Exponenten? Gilt hier auch a^{m/n}=n√a^m - anscheinend nicht... man ich bin aufgeschmissen xD

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oder gilt x^{-1/7}=1/x^{1/7} aber dann frage ich micj warum der Definitionsbereich nur bei R+ liegt bei x^{-7/8}...mit diesem graphenzeichner lasse ich die graphen zeichnenhttps://rechneronline.de/funktionsgraphen

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etwa bei x 1/3  ist ja dass Problem, dass man die 7.Wurzel bilden muss.

Da gehen die Meinungen etwas auseinander.

Manche sagen  bei  (-8) ^1/3 machen wir einfach  -2 draus.Dann muss man allerdings die Potenzgesetze etwas einschränken.Hier ist es z.B. so   nur nicht-negative x-Werte erlaubt.

~plot~ x^{1/3} ~plot~

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Meine hoffentlich letzten Fragen:

1. Gilt für x^{-n/m}=1/x^{n/m}    ?

2. mit echt gebrchenen Exponenten meinst du Brüche als Exponenten, die als Zahl eine Kommazahl wären, oder?

3. Bei den geraden nat. Zahlen als Expo. ist immer bei (0;0) einlok. und globaler Tiefpu.  bei echte pos. Bruchzahlen als Expo.  auch.

- was meinst du mit echte post. Bruchzahlen?

Vielen Dank für deine Hilfe! Bin fertig, wenn ich meine Fragen beantworten kann!

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1. Gilt für x^-n/m=1/x^n/m    ?        Ja !

2. mit echt gebrochenen Exponenten meinst du Brüche als Exponenten, die als Zahl eine Kommazahl wären, oder?   Ja !

3. Bei den geraden nat. Zahlen als Expo. ist immer bei (0;0) ein lok. und globaler Tiefpu.  bei echte pos. Bruchzahlen als Expo.  auch.

- was meinst du mit echte pos. Bruchzahlen? 


wie oben :


mit echt gebrochenen Exponenten meinst du Brüche als Exponenten, die als Zahl eine Kommazahl wären,


aber positiv

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Probier mal x^{1/2}, das funktioniert nicht ganz. Also bei dieser Funktion ist kein Tiefpunkt...

Auf diesen Seiten getestet:
https://rechneronline.de/funktionsgraphen/

http://www.ableitungsrechner.net/

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Doch  (0;0) ist ein Punkt, in dessen Umgebung es keinen tieferen gibt.

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Hm ich dachte immer die Bedingungen müssen erfüllt sein also 1. Ableitung gleich Null und noch eine andere oder doch nicht?Ich verstehe, dass das der tiefste Punkt ist aber uns wurde immer gesagt es muss 2 Bedinungen erfüllen, um einen Punkt als Tief- oder Hochpunkt zu bezeichnen..Danke dir! Schulde dir aufjedenfall was!

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Du verwechselst da die Kriterien für Extrempunkte

im INNEREN eines Intervalls  mit

der Definition.

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Dankeee!!!! Endlich bin ich fertig xD. Leider kann ich dir keinen Stern geben, da ich nicht mehr weiß, mit welchem Gerät und Browser ich die Frage gestellt habe.. Und die Funktion: das habe ich gefragt ist auch nicht da.. Sonst hättest du den Stern schon vor Tagen bekommen!