Bestimmen von Polstellen, Nullstellen und Lücken

Question

kann mir hier jemand helfen?

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Kanns nicht lesen.

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Kannst du es jetzt lesen?

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Offenbar gilt f(x) > 0 für alle x > 0, daher fällt (d) weg. An den Stellen x = 1, sowie x = 3 liegen keine Pole vor. Wenn eine der vorgegebenen Antworten zutrifft, muss es (a) sein.

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Danke für die Antwort nur ist das so das auch keine Lösung zutreffen kann. Kann man das nicht genau rechnerisch lösen?

Answer 1

f(x) = (e^x + 2x)/(2x)

Nullstellen prüfen.

a) berechne f(-0.35....) = (e^{-0.35....} + 2*(-0.35....)) / (2*(-0.35.....) )

Das sollte 0 geben. (alle Stellen eingeben).

Polstellen: "Nenner = 0" und "Zähler ≠ 0"

Das passt hier genau für die Stelle x = 0.

Nun aber: Du solltest reklamieren, wenn man euch Aufgaben mit falschen Bezeichnungen lösen lässt. Das irritiert, speziell, wenn das ein Fernkurs ist und du keine Vorkenntnisse haben musst.

EDIT: Wie andere schon angemerkt haben, kann nur a) richtig sein.

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Vielen Dank aber nehmen wir an ich hätte die Lösungen nicht gegeben oder nicht zur Auswahl, wie hätte ich dann vorgehen sollen also grundsätzlich?

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Also NUR zu den Nullstellen.               
Du musst den Zähler Null setzen.         
Also e^x + 2x = 0. Und das ist eine Gleichung, die sich nur numerisch (näherungsweise durch "systematisches Probieren" bis du mit der Genauigkeit der Lösung zufrieden bist.) lösen lässt.             Wenn du zusätzlich NUR wissen willst, wie viele Nullstellen es gibt, formst du um auf  e^x = -2x. Dann zeichnest (skizzierst) du f(x) = e^x (Exponentialfunktion) und g(x) = -2x (lineare Funktion mit Gefälle).            ~plot~ e^x; -2x ~plot~         Da siehst du sofort, dass die beiden Graphen GENAU eine Schnittstelle haben, die NICHT bei x=0 (Definitionslücke) liegt. Daher gibt es genau eine Nullstelle und als Nebenresultat weisst du nun, dass x=0 eine Polstelle ist.                 EDIT: Bitte Zeilenumbrüche dazudenken, wo ich ein paar Leerschläge gemacht habe. 

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Ok danke aber sowas habe ich nicht gelernt und weiß nicht was das zu bedeuten hat :(

Warum heißt diese Funktion nicht gebrochenrational? Ich dachte immer wenn geteilt vorkommt dann heißt diese auch so oder wie?

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"Warum" darfst du bei Definitionen nicht fragen. - Es sei denn du studierst gerade Mathematik und willst die Mathematik revolutionieren. (Dein Lehrer sollte eigentlich die Geschichte des Begriffs kennen)

Die gängige Definition findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Funktion

In der Bildlegende wird der übliche Begriff gebrochenrationale Funktion benutzt.

Entscheidend ist, dass n und z die grössten Exponenten natürliche Zahlen sind. Das ist bei e^x nicht der Fall.

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warum ist das bei e^x nicht der fall?

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Die Exponentialfunktion besteht aus einer unendlichen Anzahl von Summanden (Man betrachtet einen Grenzwert).

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Konvergenz_der_Reihe.2C_Stetigkeit 

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Wenn ich die -0,35..einsetze dann komme ich auf ein Ergebnis von 0,83... und das ist nicht Null oder? Und warum muss ich das in die Komplette Funktion einsetzen? Dachte bei Nullstellen muss man nur den Zähler betrachten?

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Und warum muss ich das in die Komplette Funktion einsetzen? Dachte bei Nullstellen muss man nur den Zähler betrachten?

Das kommt praktisch auf dasselbe raus. Ein Bruch kann nur 0 geben, wenn der Zähler 0 ist. 
Wenn der Zähler 0 wäre, wäre automatisch auch 0 /(2*(-0.35...) = 0 Im Graphen von mathef sieht es aber so aus, wie wenn bei x = -0.35.... effektiv eine Nullstelle vorhanden wäre. Gib nochmals sorgfältig mit allen Nachkommastellen und Klammern ein.

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schau das habe ich rausbekommen??

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Das ist super. Da musste der Taschenrechner auf technische Darstellung umstellen und du hast du hinten *10^{-7} .

Das bedeutet, dass deine Zahl eigentlich erst mal eine Null vor und dann 6 Nullen nach dem Komma hat.

-0.00000078062836

und das ist genügend genau bei 0, da -0.351734 auch nicht sooo viele angegeben Stellen hat.

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ok danke aber wie soll ich das wissen, ich meine kann man das im Taschenrechner umstellen oder anders brechen und woher weißt du das?

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Wenn dir euer Lehrer noch nie die technische Darstellung erklärt hat, hast du das jetzt das erste Mal gehört und schaust in Zukunft genau hin, wenn du beinahe Null erwartest. Ich würde das nicht umstellen. Der Taschenrechner macht das, damit er möglichst viele bedeutsame Ziffern zeigen kann. Wenn er die führenden Nullen alle hinschreiben müsste, könnte er die Zahl nicht so genau ausgeben.

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Ja aber woher weiß ich das es beinahe Null ist? Gibt es da einen bestimmten Rechnungsweg und wie sieht es grundsätzlich aus wenn es beinahe null bedeutet?

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Dann hast du hinten bei der 10 einen negativen Exponenten. Also  *10^{-5}, *10^{-6}, *10^{7} oder gar *10^{-20} das Letzte hat dann nach dem Komma sogar 19 Nullen.

Mehr dazu noch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Zehnerpotenz#Verwendung

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vielen dank, wollte noch fragen wenn Zähler und Nenner null sind dann gibt es nur die Lücke und keine Nullstellen oder Polstellen?

Answer 2

Das erste ist richtig.

kannst ja  e^x / (2x)   + 1    denken und schau mal:

~plot~ (e^x +2x)/(2x) ~plot~

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Ja aber ich brauche rein Rechnerisch die Lösung. Kannst du zeigen vor allem wie die Nullstellen bei dieser Funktion berechnet werden?

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geht nur näherungsweise ( Newtonverfahren oder so),wenn du den Zähler = 0 setzt.

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Das heißt ich kann diese Aufgabe nur lösen wenn ich die Funktion zeichne? Wenn ich das Newton Verfahren nicht kenne? Aber in Prüfungen habe ich doch nicht so viel Zeit und bräuchte lange um diese Funktion zu zeichnen oder?

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Also die Graphen von e^x und von -2x kannst du ja sicher schnell skizzieren.

Das der Schnittpunkt ( also Nullstelle von e^x + 2x ) so etwa bei  -0,5 ist,

sieht man dann ja schnell.   Insbesondere, dass es keinen 2. gibt.

Und das reicht ja.

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was meinst du mit keine 2? Und muss man nicht die ganze Funktion betrachten wenn man diese Zeichnet?

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Skizze von e^x ist ja eine Kurve , die links über der x-Achse beginnt,dann leicht ansteigt bis zum Punkt (0;1) dann relativ steil nach oben geht.

zu -2x eine Gerade mit rel. starkem Gefälle durch den Punkt (0;0).

Die schneiden sich offenbar nur einmal.

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aber wir zeichnen doch die Funktionen nicht einzeln? Oder ich verstehe grad gar nichts

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wenn du e^x + 2x = 0 prüfen willst

(Der Nenner ist ja für die Nullstellen irrelevant.)Dann kannst du das auch als   e^x  =   -2x   machen.

Und da hast du den Schnittpunkt zweier Graphen.

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Wie? Kannst du das zu Ende Rechnen? Und der Nenner ist für Pollstellen wichtig oder?

Answer 3

Gulia!

Hier eine Abschrift deiner Aufgabe:

2) Bestimmen Sie die Polstellen, Nullstellen und Lücken der folgenden gebrochenrationalen Funktion$$ f(x) = \dfrac { e^x+2x} { 2x} $$

Ok, soweit also die Aufgabenstellung. Nun zur Analyse: Die beschriebene Funktion ist alles andere als gebrochenrational. Wer stellt solche Aufgaben?

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Fernstudium Guide :(

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Schon was bezahlt?

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Ja ich lerne dort und wüsste nicht wo ich das sonst machen soll den Betriebswirt :( habe nur Hauptschule und Ausbildung