Aufgaben zu Geometrische Reihen

Question

1.) unter welchen Bedingungen hat die Reihe eine Summe? Gib eine Formel für ihre Summe an!
     a.) 1+ B²/3+B⁴/9+B⁶/27+...
     b.) -1 + w² - w⁴ + w⁶ - ...

2.) Berechne:
     a.) (1-x²)*(1+x+x²+..) für Betrag von x < 1
     b.) (1-a+a²-a³+..)*(1+a+a²+a³+...) für Betrag von a <1

3.) Beweise:
      a.) (1+y²+y⁴+y⁶+..)/(1-y+y²-y³+...)=1/(1-y) falls Betrag von y < 1
      b.) (z²-1)*(1+z²+z⁴+...)=-1 falls Betrag von z < 1

Answer 1

 a.) 1+ B²/3+B⁴/9+B⁶/27+...

 =     1+ B²/3+(B²/3)²+  (B²/3)³+...

Ist die geo. Reihe für q = (B²/3)  ,

konvergiert also für  B²/3  < 1 ⇔  B²<3  ⇔  -√3 < B  <  √3b) ähnlich

a.) (1-x²)*(1+x+x²+..) für Betrag von x < 1Der 2. Faktor ist die geo. Reihe mit q=x also

wegen   Betrag von x < 1  konvergent mit

Summe   1 / ( 1-x)  also ist

(1-x²)*(1+x+x²+..)  =  (1-x²) / ( 1-x) =   1+x

Die anderen ähnlich.

Answer 2

Bei 1.b) ist der konstante Faktor -w². Dann muss gelten -1<-w²<1. Das ist für -1<w<1 der Fall.

Bei 2.) und bei 3.) formt man zunachst mit der Summenformel um.