Zeigen Sie für welche x ∈ R die folgende Ungleichung gilt:

Question

bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass dies für alle x>0; x<-1 gilt. Da man mit zunehmendem x den ersten Teil vernachlässigen kann, da dieser gegen 0 geht. Des Weiteren ist der Zähler immer positiv und der Nenner nur im unten angegebenen Bereich negativ. Genügt es, wenn ich dies aufzeige?

Answer 1

$$ \frac { 1 }{ x }+\frac { (x+4)(x+5) }{ x(x+1) }\\=\frac { (x+3)(x+7) }{ x(x+1) }>0$$

Der Term wird größer null,wenn die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist.

x>0 ist klar, ebenso x<-7.

Für -7<x<-3 hat man 3 negative Faktoren, also Term kleiner 0.

Für -3<x<0 hat man 2 negative Faktoren, also Term größer 0.

Comments

Danke, stand wohl irgendwo komplett am Schlauch...

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@t.bender 

Prüfe zuerst, ob x= -1/2 eine Lösung ist.

Dann überprüfe jede angebotene Antwort. 

 

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Hallo Wolfgang und die anderen die sich in diesem Fred gemeldet haben,

Hier die Lösung

-∞..-7 : > 0
-7.. -3  : < 0
-3 .. -1 : > 0
-1 .. 0 : < 0
0.. ∞ : > 0

Die Lösung wurde ermittelt durch
linke Seite auf einen Bruch schreiben
es kann gekürzt werden durch " x "
feststellen wo der Zähler positiv / negativ ist
feststellen wo der Nenner positiv / negativ ist
Dann Feststellung wo der Bruch positiv / negativ ist

Bei Bedarf kann ich noch ausführlicher einstellen.

mfg Georg

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Georg, was genau meinst du mit deiner zweiten Zeile in

linke Seite auf einen Bruch schreiben
es kann gekürzt werden durch " x "

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Fülltext.Fülltext.

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Ach so. Ich hatte im Kopf nur den linken Summanden mit (x+1) erweitert.

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@georgborn @Unknown Alles, was nicht der Lösung der Aufgabe zuträglich ist, gilt als Offtopic und gehört in den Chat. Und wird entfernt. Denkt bitte auch an alle Besucher nach euch, die diesen Post finden. Sie interessiert nicht, wer Gast x ist oder weshalb es zu Diskussionen kommt. Diese Leute sind an einer Lösung interessiert.

Answer 2

Stimmt offensichtlich nicht. Wirst schon rechnen muessen.

~plot~ 1/x+(x+4)*(x+5)/(x^2+x);[[-15|5|-1|12]] ~plot~

Answer 3

Sieht mir eher so aus, als wenn das fast immer > 0 ist:

~plot~ 1/x+(x+4)*(x+5)/(x^2+x); [[-10|10|-1|20]] ~plot~

Answer 4

$$ \begin{aligned}\frac { 1 }{ x }+\frac { (x+4)(x+5) }{ x(x+1) } > 0\\\,\\\frac { (x+3)(x+7) }{ x(x+1) } > 0\end{aligned} $$

Ok, die linke Seite beginnt im Positiven und wechselt  ihr Vorzeichen
genau und in dieser Reihenfolge an den Stellen \(-7, -3,-1,0\).

Daher ist sie positiv und die Ungleichung wird erfüllt für

$$ x \in \left( \left(-\infty, -7\right) \quad\cup\quad \left(-3, -1\right) \quad\cup\quad \left(0,+\infty\right) \right). $$

(Das steht zwar schon an anderer Stelle, aber so ist
die Argumentation wenigstens einfach und klar.)

PS: Mengenklammern nach Hinweis entfernt!

Comments

Die Mengenklammern bei x ∈ { ... } sollte man wohl weglassen.

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@Wolfgang: Ja, das sehe ich auch so, danke! :-)