Seien Vektoren a,b c linear unabhängig, sind folgende Vektoren auch linear unabhängig?

Question

Die Vektoren a,b und c sind linear unabhängig. (R³⁾

Nun sind verschiedene Vektoren gegeben und man soll prüfen ob sie auch linear unabhängig sind.

Zum Beispiel a - b -c

Mir würde es jetzt schon reichen, wenn ich nur einmal so eine generelle Vorgehensweise wüsste

Comments

Meinst du, ob die Vektoren v = a - b und w = -c linear unabhängig sind?

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Okay, anscheinend ist die ganze Menge wichtig.

Wäre im ersten Fall:

a + 2b

a + b +c

a− b−c

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Kommentar unter meine Antwort verschoben.

Answer 1

> Nun sind verschiedene Vektoren gegeben und man soll prüfen ob sie auch linear unabhängig sind. 

Zum Beispiel a - b - c 

Einzelne Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sie den Nullvektor darstellen, in diesem Fall also genau dann wenn a-b = c ist.

Ich nehme an, dass du eine Menge von mehreren ähnlich "aufgebauten" Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen sollst.

Diese musst du dann aber erst einmal alle angeben.

Gruß Wolfgang

Comments

Ja, aber ich habe eine Menge, aber ich dachte man könnte sie auch einzeln betrachten. Sind jetzt angegeben,

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>a + 2b , a + b +c und  a− b−c  linear unabhängig?  [ Nachtrag zur Fragestellung ] 

Dann kannst du prüfen, ob die Gleichung

x * (a + 2b) + y * (a + b +c) +z *(a− b−c) = \(\vec{0}\)

nur die triviale Lösung (x,y,z) = (0,0,0) hat.   [ →  lin. unabh. ]

Dazu multiplizierst du aus und klammerst dann a,b und c teilweise aus.

Wegen der lin. Unabh. von a,b,c  müssen die Klammern den Wert Null haben.

Dann hast du ein 3x3-LGS  in x,y,z  und kannst  das  prüfen.

Answer 2

d = a - b -c  ist eine Linearkombination aus den gegebenen. Damit lässt sich einer der Vektoren a, b, c und d als Linearkombination der anderen darstellen. Das kann man als Definition der linearen Abhängigkeit verstehen.

Comments

Die Argumentation bezieht sich auf die lineare Abhängigkeit der 4 Vektoren a,b,c und d.

Vier Vektoren im ℝ³ sind aber immer linear abhängig.