Question

Seien A, B Mengen, ƒ : A → B eine Abbildung und A₁, A₂ ⊆ A sowie B₁ ⊆ B . 

Zeigen Sie:

(a) ƒ (A₁) \ ƒ (A₂) ⊆ ƒ (A₁ \ A₂) . Geben sie zudem ein Gegenbeispiel für die andere Teilmengeninklusion an.

(b) ƒ (ƒ^-1 (B₁)) ⊆ B₁ . Geben sie zudem ein Gegenbeispiel für die andere Teilmengeninklusion an.

Answer 1

Seien A, B Mengen, ƒ : A → B eine Abbildung und A₁, A₂ ⊆ A sowie B₁ ⊆ B . 

Zeigen Sie:

(a) ƒ (A₁) \ ƒ (A₂) ⊆ ƒ (A₁ \ A₂) .Sei   y ∈   ƒ (A₁) \ ƒ (A₂)


⇒  y ∈   ƒ (A₁)   ∧     y ∉   ƒ (A₂)
⇒ ∃ x₁ ∈  A₁   y=f(x1) ∧     ∀ x2 ∈  A₂    y≠ f(x2)


⇒  ∃ x₁ ∈  A₁   y=f(x1)      ∧  x₁  ∉   A₂    

⇒  ∃ x₁ ∈  A₁  \ A₂        y=f(x1)  

_⇒     y ∈   ƒ (A₁ \ A₂)

Comments

Gegenbeispiel:

f : A ---> B   mit  f(x) =  x MOD 2  (Rest bei Division durch 2)

A= { 2;3;4}    B={ 0,1}   A1=  { 2;3}    A1=  { 3;4}

f(A1)= B  und f(A2) = B  

f(A1\A2)= { 0}    ⊄     f(A1) \ f(A2) = ∅