Es sei z ∈ℂ und z= a+bi mit a,b ∈ℝ. Bestimmen Sie alle u,v ∈ℝ, so dass gilt(u+vi)^2=z

Question 1

$$ \text{Es sei }z ∈ℂ \text{ und }z= a+bi\text{ mit }a,b ∈ℝ.\text{ Bestimmen Sie alle }u,v ∈ℝ,\text{ so dass gilt } (u+vi)^2=z $$

Question 2

$z=a+bi=(u+vi)^2=(u^2-v^2)+2uvi$. Löse $(u^2-v^2=a)\,\&\,(2uv=b)$.

Question 3

Nur nach was muss ich das jetzt auflösen?

Question 4

Falls $b\ne0$, löse die zweite Gleichung nach $u$ auf, setze das Resultat in die erste Gleichung ein und bestimme anschließend $v$.
Tipp: Du kannst Text mit \text{Text} einfügen.

Question 5

Dann erhalte ich aber u=b/(2v). Wenn ich das dann in die erste Gleichung einsetze erhalte ich b^2/(4v^2)-v^2=a. Wie löse ich das dann nach v auf?

Question 6

Multipliziere mit $4v^2$, sortiere und erhalte $4v^4+4av^2-b^2=0$.

Question 7

Es gilt auch noch $u^2+v^2=|z|$, was die Sache mit der Aufloesung deutlich vereinfacht.

Question 8

Aber ich habe ja nicht u²+v² sondern u² -v².

Question 9

Ich bekomme jetzt für v1=√(-1/2 a+1/2 √(a²+b²)) und analog für v₂=√(-1/2 a-1/2 √(a²+b²). Ist meine Lösung so richtig?

Question 10

Aber ich habe ja nicht u²+v² sondern u² -v².

Du hast $u^2-v^2=a$, $2uv=b$ und ausserdem auch noch $u^2+v^2=|z|$. Man bestimmt $u^2$ und $v^2$ am einfachsten mit der ersten und der dritten Gleichung. Die zweite braucht man dann bloss noch, um für $u$ und $v$ die richtige Vorzeichenkombination auszuwaehlen.

Der andere Weg ist komplizierter, aber auch gehbar. Allerdings solltest Du ja erstmal vier Lösungen für $v$ bekommen, nicht zwei. Da muessen dann zwei ausgesondert werden, da es natuerlich auch im Komplexen nur zwei Quadratwurzeln aus jeder Zahl ≠ 0 gibt.

Question 11

Ja stimmt ich bekomme 4 Lösungen heraus. Wenn ich das ganze jetzt mit deiner Methode rechne, muss dann nicht gelten ΙzΙ=√(u^2+v^2)?

Question 12

Und ich verstehe auch noch nicht wie ich mit deiner Methode danach weiterrechnen muss

Question 13

Du hast $u^2+v^2=|z|$ und $u^2-v^2=a$. Das sind zwei lineare Gleichungen für $u^2$ und $v^2$. Das wirst Du ja wohl loesen koennen.

Question 14

Vielen Dank für deine Hilfe ich habs jetzt kapiert

Es sei z ∈ℂ und z= a+bi mit a,b ∈ℝ. Bestimmen Sie alle u,v ∈ℝ, so dass gilt(u+vi)^2=z

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