Question

Eine Eigenschaft des arithmetischen Mittels 

Betrachten Sie die Beobachtungen (x1, . . . , xn)^'

eines quantitativen Merkmals. 

Weisen Sie nach, dass das arithmetische Mittel die Summe der quadratischen Abweichungen der Daten

von einem Wert z minimiert. Mit anderen Worten: Zeigen Sie, dass es sich bei x^{--- a}

um das

Minimum der Funktion handelt.

         n

f(z)=∑ (x_i - z)²

        i=1

Entschuldigt die Schreibweisr,,dass n und i=1 gehöre  zur Summenformel.

Muss ich der Aufgabe nur bei (x_i - z)² mit der Kettenregel die Wurzel ziehen?Oder wie gehe ich davor?

Comments

Warum Wurzelziehen? Leite wie gewohnt nach \(z\) ab und berechne das Minimum.

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Ich nun das Minimum ausgerechnet.

(1-z)^2=1-z^2

F'(z)=2z

Ist das so richtig?

Answer 1

$$f(z)=\sum_{k=1}^n(x_k-z)^2$$$$f'(z)=2\sum_{k=1}^n(z-x_k)$$$$\text{Notwendige Bedingung: }f'(z_E)=0$$$$\sum_{k=1}^nz_E=\sum_{k=1}^nx_k$$$$n\cdot z_E=n\cdot\overline x$$$$z_E=\overline x.$$Gruß