Vollständige Induktion Beweisen Sie alle natürlichen zahlen von n

Question

Rechnen Sie die Summe S₃(n) = ∑ⁿ_k=1 k² für die Werte n=2,3,4. Beweisen Sie danach mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen n gilt

           S₃(n) = n(n+1) (2n+1) / 6

und überprüfen Sie die Übereinstimmung dieser Formel mit den von Hand berechneten Werten von S₃(2) , (3) & (4) .

Answer 1

Schaffst du es für n = 2, 3, 4 alleine?

Ich mache hier jetzt die vollständige Induktion

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

Stimmt auch!

Comments

Danke für deine schnelle Rückmeldung .

Induktionsanfang kann ich noch nachvollziehen , aber bei dem Induktionsschritt steige ich leider nicht durch , wäre lieb wenn mir das an zwei nochmal Detaillierter gezeigt werden könnte.

Habe in Mathematik wirklich große Probleme.

Studiere Biologie und habe nur FH - in Pädagogik , also ewig kein Mathematik mehr gehabt.

Bin über jeden Hilfe dankbar :)

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"aber bei dem Induktionsschritt steige ich leider nicht durch"

kein Problem. Siehe den Induktionsschritt nicht als gesamtes sondern Zeilenweise. Gehe die Zeilen einzeln durch. Bei welcher Zeile verlierst du das Verständnis.

Versuche auch zu Verstehen was von Zeile zu Zeile gemacht worden ist. Schreib dir die Umformungsschritte dazu.

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fängt schon bei der ersten zeile an . ich verstehe die einzelnen schritte schon nicht.

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Ersetze in der Induktionsannahme das n durch n + 1

Σ (k = 1 bis n) (k²) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Das ergibt die erste Zeile

Σ (k = 1 bis n + 1) (k²) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Auf der Linken Seite spaltet man aus der Summe den letzten Summanden ab. Die rechte Seite wird nur vereinfacht.

Schau mal ob du es nachvollziehen kannst.