Der Körper F3 (Eindeutigkeit des additiven Inversen Element)

Question

Hi, ich habe die Körpereigenschaften des F3 bereits geprüft und damit auch nicht wirklich Probleme gehabt.

Was mir allerdings etwas zu schaffen macht ist, dass wir wissen dass das Inverse Element einer Gruppe eindeutig bestimmt ist.

Aber in diesem Fall haben wir doch für alle Elemente in F3 unterschiedliche additive inverse Elemente:

Sei 0 das neutrale Element dann gilt.

1+2= 0 => 1^{-1} = 2

2+1= 0 => 2^{-1} = 1

Mir ist natürlich klar, dass es im R auch unendlich viele unterschiedliche additive Inverse Elemente gibt. Das ist nicht der Punkt meiner Frage. Nur kann ich sie dort eben durch -x für alle x e R darstellen.

Wie mache ich das im F3?

Desweiteren, wenn ich nun die Untergruppen Eigenschaft für F3,+ Teilmmenge F9,+ zeigen will.

Dass F3 Teilmenge von F9 ist ist mir klar.

Aber es soll ja gelten für alle a,b e F3 => a*b^{-1} e F3

sei a = 2 und b= 1

=> 2*2=4 und das ist nicht Element F3. Wo ist mein Denkfehler?

Liebe Grüße

Comments

Du verwechselt da etwas. Es muss heißen:

"Das inverse Element zu einem Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt".

Das bedeutet schon mal gar nicht, dass eine Gruppe nur ein inverses Element (für alle Elemente) besitzt. Es bedeutet, dass es zu jedem Element einer Gruppe  jeweils nur ein inverses Element gibt (nicht zwei oder drei,...), diese können aber für verschiedene Elemente selbstverständlich unterschiedlich sein.

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Nur kann ich sie dort eben durch -x für alle x e R darstellen. Wie mache ich das im F3?

-1 = 2

-2 = 1

Desweiteren, wenn ich nun die Untergruppen Eigenschaft für F3,+ Teilmmenge F9,+ zeigen will.

Dass F3 Teilmenge von F9 ist ist mir klar.

F₃ ist keine Teilmenge von F₉, und also schon gar keine Untergruppe. Die Symbole 0, 1, 2 aus F₃ bezeichnen ganz andere Objekte als die 0, 1, 2 in F₉. Die sind nicht zu identifizieren.

Ein Beispiel für eine Untergruppe von F₉ ist {0, 3, 6}.

Answer 1

Danke für die Kommentare.Ich kann dann aber auch sagen dass  {0,1,2} Unterkörper von F9 ist und dieser Unterkörper Isomorph zu F3 ist.Das liegt daran, dass die Abbildung {0,1,2} ->F3 mit 0 ->0(F3); 1-> 1(F3) ;2-> 2(F3)  ((F3) soll zeigen, dass es sich um Objekte in F3 handelt) einen Körperhomomorphismus darstellt und diese Abbildung bijektiv ist.Das bedeutet dann für mich konkret, dass ich die Additionstafel und Multiplikationstafel des F9 quasi auch im F3 benutzen kann, indem ich einfach die Elemente {3,4,5,6,7,8,9} weglasse.Es geht mir hierbei wirklich nur um das Verständnis. Es kann natürlich ein, dass meine Ausdrucksweise nicht ganz korrekt ist.

Comments

Oben waren wir noch mehrheitlich bei Gruppen. Ich hab da gedanklich Dein \(\mathbb{F}_9\) faelschlicherweise zu \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\) korrigiert, vor allem, weil Du \(2\cdot2=4\) vorgerechnet hast.

Fuer \(\mathbb{F}_9\) sieht es so aus:

https://de.wikiversity.org/wiki/Endlicher_Körper/9/Operationstafeln

Wenn man dieses Modell waehlt, hat man tasaechlich \(\mathbb{F}_3\subset\mathbb{F}_9\). Ansonsten kann man natuerlich \(\mathbb{F}_3\) immer in \(\mathbb{F}_9\) einbetten und (wenn es einem Spass macht und man glaubt, dass es was bringt!) dann auch \(\mathbb{F}_3\) mit seinem Bild identifizieren.

Nur so als Fangfrage, was haelst Du von \(\mathbb{F}_3\subset\mathbb{Q}\)?

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Ich habe 2*2= 4 vorgerechnet, da ich zeigen wollte, dass (F3,+) Untergruppe zu (F9,+) ist,weil das das erste Kriterium für die Definition des Unterkörpers ist.Und für eine Untergruppe gilt a*b e F3 => a*b^{-1} e F3sei a = 2 und b = 1: da b^{-1} = 2 ist in F3 kam ich eben auf 2*2=4Aber ja ich glaube ich habe mittlerweile verstanden, dass  nicht F3 Unterkörper ist sondern die Menge {0,1,2} welche isomorph zu F3 ist. Habe ich das auch wirklich? :)Zu deiner Fangfrage:Wir haben ja bereits geklärt, dass die Symbole 0,1,2 usw. keine Zahlen definieren. Von daher denke ich, dass die Behauptung falsch ist. 

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Dadurch dass ich meine Ausgangsfrage falsch formuliert habe verstehe ich nun auch, was mein Problem an der Sache war. Ich dachte F9 sei immer "gleich". Aber ich kann endliche Körper ganz unterschiedlich definieren. Das war mir nicht so wirklich klar und ist mir jetzt dank eurer Hilfe klar geworden.  So wie du aus F9,Z/9Z Korrigiert hast, kann ich F2 auch als S2 (Symmetrische Gruppe) betrachten.

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr und scheitert an den einfachsten Sachen.