Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.

Question

Die erste Behauptung ist offensichtlich falsch, doch wie genau soll ich das begründen? Die Randpunkte von A und A^c sind dieselben, aber die inneren Punkte nicht. Mit der Definition komme ich auch nur bis zu den Randpunkten.

Für die 2. Behauptung kann ich auch nur mit der Definition was anfangen und zwar, dass alle Punkte der Menge A und B innere Punkte und somit keine Randpunkte sind, da A und B offen sind. Daraus folgt, dass die Schnittmenge auch offen sein muss, da alle Punkte hier auch innere Punkte sind. Reicht das als Erklärung oder hat jemand einen besseren Vorschlag?

LG temptat

Answer 1

i) Jeder innere Punkt einer Menge M ist auch Element von M.

ii) Die Behaptung ist richtig, aber die Begründung "da alle Punkte hier auch innere Punkte sind" ist etwas dürftig. Warum sind denn alle Punkte hier auch innere Punkte? Schneidet man alle offenen Intervalle (-a, a) mit a>1, dann ist das Ergebnis das abgeschlossene Intervall [-1, 1], also nicht offen. Plötzlich sind nicht mehr alle Punkte innere Punkte.

Gib für jedes x ∈ A∩B ein ε>0 an, so dass die ε-Umgebung von x ⊂ A∩B ist.