Inhomogene Differenzialgleichung: y'(x) = -α[y(x) + x]

Question

y'(x) = -α[y(x) + x]
----------------------------------------------
dy/dx = -α[y(x) + x]
dy/(x+y) = -α dx

Was soll ich weiter machen ? Ich kann leider x von y nicht trennen.

Answer 1

Hi,

ich würde da ganz allgemein rangehen. Trennen geht in der Tat nicht.

 

y'+ay=-ax

Homogene Lösung:

y'+ay=0

Ansatz: y=e^{λx}

λ+a=0

λ=-a

 

-> y_h=c*e^{-ax}

 

Partikuläre Lösung mittels rechte Seite-Ansatz: y=bx+c -> y'=b

 

b+a(bx+c)=-ax

b+abx+ac=-ax

-> Koeffizientenvergleich

abx=-ax   -> b=-1

b+ac=0  -> mit b=-1 -> c=1/a

-> y_p=-x+1/a

 

y=c*e^{-ax}-x+1/a

 

Grüße

Comments

Man kann übrigens auch z = y+x-(1/a) substituieren; dann erhält man z' = -az als neue DGL.