Zeigen Sie |P|=0 genau dann, wenn P=0

Question

Ich komme bei folgenden Aufgaben nicht weiter es wäre toll wenn mir einer einen kleinen Stupser in die richtige Rochtung geben würde. :)

schonmal.

 Zeigen Sie:

a. |P|=0 genau dann, wenn P=0

b. Für alle Skalare α∈ℝ und alle P∈ℝⁿ gilt: |α·P|=|α|·|P|

c. Der Mittelpunkt der geraden Verbindungsstrecke zwischen Punkten P und Q in ℝ² der Punkt (1/2)·(P+Q) ist.

Answer 1

a) P = ( p1 ; p2; p3 ; ....; pn ) und

| P | = √( p1² + p2²+ ... + pn² )

und der Term in der wurzel ist genau dann = 0 , wenn


alle p_i = 0    also, wenn P=0.


b)  versuch das auch mal mit  P = ( p1 ; p2; p3 ; ....; pn )c) vielleicht ist das so gedacht:  Du sollst zeigen, dass
M =  (1/2)·(P+Q) auf der Geraden liegt und   dass


|MP| = |MQ|

Comments

c. Der Mittelpunkt der geraden Verbindungsstrecke zwischen Punkten P und Q in ℝ²der Punkt (1/2)·(P+Q) ist. 

Ich würde das eventuell mit Vektoren wie folgt schreiben:

M = P + 1/2 * PQ

M = P + 1/2 * (Q - P)

M = P + 1/2 * Q - 1/2 * P

M = 1/2 * P + 1/2 * Q

M = 1/2 * (P + Q)

Answer 2

für alle Aufgaben gilt P ∈ ℝ^n nehme ich an.

Und den Betrag habt ihr definiert mit 

$$ |P|=\sqrt { \sum_{i=1}^{n}{{ P }_{ i }^2} } $$

a) du musst Hin- und Rückrichtung zeigen:

$$ \Leftarrow:\\P=0\\{ P }_{ i }=0\\|P|=\sqrt { \sum_{i=1}^{n}{{ P }_{ i }^2} }=\sqrt { 0 }=0\\\Rightarrow:\\|P|=\sqrt { \sum_{i=1}^{n}{{ P }_{ i }^2} }=0\\\sum_{i=1}^{n}{{ P }_{ i }^2}=0\\{ P }_{ i }^2=0\\{ P }_{ i }=0\\P=0\\ b) \\|aP|=\sqrt { \sum_{i=1}^{n}({{ aP }_{ i })^2} }\\=\sqrt { \sum_{i=1}^{n}a^2{{ P }_{ i }^2} }\\=|a||P| $$