Gruppen und Halbgruppen. Beweise: Falls a ◦ a = a , dann ist a das neutrale Element.

Question

Was an dieser Behauptung fraglich ist: Könnte es sein, dass H eine Untergruppe ist, aber das neutrale Element von H ein anderes als das von G ist? Im Folgenden soll dies beantwortet werden.

1. Zeigen Sie: Ist G eine Gruppe und ist a ∈ G ein Element, für das a ◦ a = a gilt, so ist a das neutrale Element von G.

2. Zeigen Sie: Ist H eine Untergruppe von G, so ist das neutrale Element von H das gleiche wie das neutrale Element von G.

3. Für Halbgruppen wäre die obige Behauptung falsch: Betrachten Sie N als Halbgruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung. Geben Sie eine Teilmenge H ⊂ N an, die eine Halbgruppe mit neutralem Element ist, so dass das neutrale Element von H aber nicht das selbe ist wie das von N. (Geben Sie die beiden neutralen Elemente an.) (Zur Erinnerung: Wir fassen 0 als natürliche Zahl auf, d. h. N = {0, 1, 2, . . . }) 

Answer 1

Zeigen Sie: Ist G eine Gruppe und ist a ∈ G ein Element, für das a ◦ a = a gilt,

so ist a das neutrale Element von G. .

Jedes a aus G besitzt ein Inverses.  a^-1  .

multipliziere die Gleichung    a ◦ a  =  a   auf beiden Seiten mit  a^-1  .


Dann steht da   a = n .

Comments

Woher kommt das n plötzlich?

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Das n soll das neutrale Element sein.

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Ach so ok... unser Prof kürzt es immer mit e ab.

Answer 2

1. Multipliziere die Gleichung aa=a mit a^-1.
2. Das neutrale Element der Gruppe ist insbesondere auch neutral gegenüber allen Elementen der Untergruppe. Weil in der Untergruppe auch inverse Elemente existieren, ist mit h in H auch h^-1 in H und wegen Abgeschlossenheit auch hh^-1 in H. Letzteres ist das neutrale Element der Gruppe.
3. Was da als "zur Erinnerung" verkauft wird ist in Wahrheit ein "Hinweis zur Lösung". Entfernt man die Null, dann taugt die Menge nicht mehr dazu, das behauptete zu zeigen.

Comments

0 ist doch die "Lösung" zu 3. oder?

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Aber das neutrale element der multiplikation wäre doch auch bei der teilmenge die1? inwiefern hilft dann das wegstreichen der 0? also was wären dann die beiden neutralen elemente, einmal von N und einmal von H?

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> 0 ist doch die "Lösung" zu 3. oder?

Nein. 0 ist ein Element von N. Gesucht ist aber eine Teilmenge von N.