zunächst muss man dazu wissen, wie der Binomialkoeffizient für ein negative n hier -z definiert ist. Das findet man unter https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Definition. z sei ein positive Zahl.
$$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n \cdot (n-1) ... \cdot (n-(k-1))}{k!} $$
ich setze für n das -z ein und forme etwas um
$$ \begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = \frac{-z \cdot -(z+1) \cdot -(z+2) ... \cdot -(z+(k-1))}{k!} $$
Im Zähler stehen genau k Faktoren alle mit einem Minus; das nehme ich heraus
$$ \begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k\frac{z \cdot (z+1) \cdot (z+2) ... \cdot (z+(k-1))}{k!} $$
und wenn man jetzt noch die Substitution
$$ y = z+k-1$$
durchführt, erhält man
$$ \begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k\frac{(y-(k-1)) \cdot (y-(k-2)) \cdot (y-(k-3)) ... \cdot y)}{k!} = (-1)^k \begin{pmatrix} y \\ k \end{pmatrix}$$
bzw. Substitution rückgängig gemacht
$$ \begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k \begin{pmatrix} z+k-1 \\ k \end{pmatrix}$$
