Beweis von Rechnungen mit Binomialkoeffizienten

Question

Beweisen Sie für n ∈ N_0 , k ∈ Z die Regel

Ich habe überhaupt keinen Anzatz wie ich von -z über k zu dem Term auf der rechten Seite der Gleichung komme. 

Answer 1

zunächst muss man dazu wissen, wie der Binomialkoeffizient für ein negative n hier -z definiert ist. Das findet man unter https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Definition. z sei ein positive Zahl.

$$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n \cdot (n-1) ... \cdot (n-(k-1))}{k!}$$

ich setze für n das -z ein und forme etwas um

$$\begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = \frac{-z \cdot -(z+1) \cdot -(z+2) ... \cdot -(z+(k-1))}{k!}$$

Im Zähler stehen genau k Faktoren alle mit einem Minus; das nehme ich heraus

$$\begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k\frac{z \cdot (z+1) \cdot (z+2) ... \cdot (z+(k-1))}{k!}$$

und wenn man jetzt noch die Substitution

$$y = z+k-1$$

durchführt, erhält man

$$\begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k\frac{(y-(k-1)) \cdot (y-(k-2)) \cdot (y-(k-3)) ... \cdot y)}{k!} = (-1)^k \begin{pmatrix} y \\ k \end{pmatrix}$$

bzw. Substitution rückgängig gemacht

$$\begin{pmatrix} -z \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k \begin{pmatrix} z+k-1 \\ k \end{pmatrix}$$