Integrierenden Faktor der DGL bestimmen. x + y^2 - yy' = 0.

Question

Hallo Ihr Experten,

nach vier Stunden und etlichen Anleitungen wissen wir leider immer noch nicht, wie wir den integrierenden Faktor bei der Aufgabe (siehe Bild) lösen.

Wir wissen, was der integrierende Faktor ist und für was man ihn braucht, allerdings klappt es bei uns nicht.

Unser Ansatz:

A(x,y) = x+y²

B(x,y) = -y

Somit ist A'_y = 2y und B'_x = 0

Wenn man das in die beiden Fälle einsetzt:

$$\frac { 2y\quad +\quad 0 }{ -y } $$ Das hängt leider nicht nur von x

und

$$\frac { 2y\quad +\quad 0 }{ x\quad +\quad { y }^{ 2 } } $$ hängt leider nicht nur von y ab.

Wir haben versucht uns an verschiedenen Beispielen zu orientieren, allerdings löst sich das bei uns einfach nie auf.
Wir bitten um Hilfe!

Answer 1

ich habe es mal bis zum Integrierenden Faktor berechnet , vielleicht hilft es ja weiter.

Meine Lösung:

-1/4 e^{-2x} (2x+2y^2+1) =C_1 ist in impliziter Form ,kann aber auch nach y aufgelöst werden

Answer 2

Deine Begründung ist falsch.

Der erste Bruch darf nicht von y abhängen (x ist egal), der zweite Bruch darf nicht von x abhängen (und y ist egal).

Der erste Bruch erfüllt die Bedingung, der zweite nicht.

Damit hast Du einen integrierenden Faktor mit \( m = \exp \left( \int -2 \,dx \right) = \exp(-2x) \).

Grüße,

M.B.