Für eine Bruchzerlegung musst du zwei Terme A und B so finden, dass Folgendes gilt: $$\frac A{2n-1}+\frac B{2n+1}=\frac1{(2n-1)(2n+1)}.$$
Dazu multiplizierst du beide Seiten mit dem Nenner, den du zerlegen willst:
$$(2n+1)A+(2n-1)B=1. \Leftrightarrow 2nA+2nB=0 \wedge A-B=1$$
Dabei habe ich alle Terme mit n darin verglichen und alle Terme ohne n.
Daraus folgt: \( (A=-B \wedge -B-B=1)\Leftrightarrow \left(B=-\frac 12 \wedge A=\frac 12\right)\).
Also: $$\frac 1{2(2n-1)}-\frac 1{2(2n+1)}=\frac1{(2n-1)(2n+1)}.$$
Dann hast du $$\sum_{n=1}^N\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^N\left(\frac 1{2(2n-1)}-\frac 1{2(2n+1)}\right)=$$ $$\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n-1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}=\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{2(2(n+1)-1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}$$
Mit der Indexverschiebung wollen wir erreichen, dass die beiden Summen links und rechts Summanden derselben Form haben, sodass wir sie fast alle kürzen können (diejenigen Indizes, die nur in einer Summe vorkommen, bleiben über). Dazu verschieben wir n=1, ..., N, indem wir von jeder Zahl 1 abziehen und dafür im Summanden n durch (n+1) ersetzen. Dann haben sich die Summanden nicht geändert, da 0+1=1, 1+1=2, ..., (N-1)+1=N.
Warum gerade diese Verschiebung: \(2(2(n+1)-1)=2(2n+2-1)=2(2n+1).\)
Schließlich: $$\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{2(2(n+1)-1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}=\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\sum_{n=1}^N\frac 1{2(2n+1)}=\frac1{2(0+1)}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\frac 1{2(2N-1)}$$
Die Terme in der Mitte sind gleich und kürzen sich deshalb weg:
$$\frac1{2(0+1)}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\sum_{n=1}^{N-1}\frac 1{2(2n+1)}-\frac 1{2(2N-1)}=\frac 12-\frac1{2(2N+1)}=\frac {(2N+1)-1}{2(2N+1)}=\frac{2N}{2(2N+1)}=\frac N{2N+1}.$$
