Äquivalenzrelation kartesisches Produkt. C=ℝ^2, R={((x,y),(z,c))∈ ℝ^2 Χ ℝ^2 | x-z=y-c}

Question

C=ℝ², R={((x,y),(z,c))∈ ℝ² Χ ℝ² | x-z=y-c}

Aufgabe: Ermitteln, ob eine Äquivalenzrelation vorliegt.

Wie würde man diese Relation visualisieren? Ein Koordinatensystem oder eine Kreuztabelle!?

Nun, das ℝ² ist doch die Menge aller Paare aus reellen Zahlen bzw. das kartesische Produkt der Menge ℝ der reellen Zahlen mit sich selber. 

Aber wie sieht es mit dem kartesischen Produkt: ℝ² Χ ℝ² aus? Leider kann ich mir das schlecht im Kopf konstruieren.

Dass ich prüfen muss, ob es reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ist mir bewusst, aber wie mache ich das in diesem Fall?

Answer 1

Aber wie sieht es mit dem kartesischen Produkt: ℝ² Χ ℝ² aus? Leider kann ich mir das schlecht im Kopf konstruieren.

Das sind Paare von Paaren, also etwa sowas  (  (a;b) ; ( x;y) )

reflexiv hieße dann  für alle (a ; b )∈ ℝ²  (  (a;b) ; ( a;b) )  in der Relation ? 

also  a-a  =  b-b   stimmt also.

symmetrisch ?   (  (a;b) ; ( x;y) ) in der Relation dann auch   ((x;y) ; (a;b)  )

das erste hieße   a-x = b-y  dann aber auch  x-a = y-b

transitiv entsprechend über die Def. nachweisen.

Comments

Bin mit der gleichen Aufgabe beschäftigt, stimmt das für transitiv:a-z=b-z?

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transitiv heißt doch :

wenn  (  (a;b) ; ( x;y) ) in der Relation   und   (  (x;y) ; ( u;v) ) in der Relation

dann muss auch   (  (a;b) ; ( u;v) ) in der Relation  sein.


seien also     (  (a;b) ; ( x;y) ) in der Relation   und   (  (x;y) ; ( u;v) ) in der Relation

d.h.     a-x = b-y    und   x-u = y-v


⇒         a-x = b-y    und   x = y-v + u

einsetzen :

  a- ( y-v + u )  = b-y

⇒     a - y + v - u =  b - y


⇒     a  + v - u =  b

⇒     a   - u =  b - v 

  (  (a;b) ; ( u;v) ) in der Relation  .   q.e.d.

Answer 2

C=ℝ², R={((x,y),(z,c))∈ ℝ² Χ ℝ² | x-z=y-c}

Das heisst doch: Der (mit Vorzeichen versehene) Abstand zwischen den x- und den y-Koordinaten der äquivalenten Punkte sind gleich)

Die Äuquivalenzklassen müssen folglich auf Geraden mit Steigung + 1 liegen. Also Parallelen zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten.