Zwischenwertsatz , Nullstellen und Polstellen einer rationalen Funktion

Question

Ich habe hier folgende rationale Funktion

1) Finden Sie die Nullstellen sowie Polstellen

2) Werten Sie in f(x) sieben Stellen strategisch aus, um das Vorzeichen in den Teilintervallen zw. Polstellen und Nullstellen zu bestimmen.

3) Stellen sie die Funktion grafisch dar

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen!

Lg!!

Answer 1

f: ℝ \ {2,4,6} → ℝ   f((x) = (x-1) * (x-3) * (x-5) / [ (x-2) * (x-4) * (x-6) ]

kann das Vorzeichen der Funktionswerte nur an den Definitionslücken  und den Nullstellen ändern. Das Vorzeichen ist also in jedem der Einzeintervalle von

] - ∞; 1 ]  ;  [ 1 ;  2 [  ;  ] 2 ; 3 ]  ;  [ 3 ; 4 [ ; ] 4 ; 5] ;  [ 5 ; 6[  ;  ] 6 ; ∞ [    konstant:

    +                  -                +                -              +             -               +

Da  f(0) > 0 ist, alle Nullstellen einfach und alle Definitionslücken  Polstellen mit Vorzeichenwechsel sind, ergibt sich für f der obenstehende Vorzeichenverlauf.

Ersatzweise könnte man auch in jedem der Einzelintervalle einen Funktionswert berechnen, dessen Vorzeichen dann im gesamten Teilintervall gleich bleibt.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke Wolfgang, das hilft mir so enorm!