Zeigen Sie, dass Gerade G die Tangente an K ist

Question

f(x)= -1/3x^3 + 3x

Die Gerade y=2x-2/3 ist Tangente an K. Zeigen Sie und bestimmen sie die weiteren gemeinsamen Punkte.

Beim gleichsetzen der ableitungen kommt bei mir wurzel 1 raus, nachdem ich dies in die normalen gleichungen einsetzte, kamen verschiedene x-werte raus ( 8/3 und 4/3 )

bin ich falsch vorgegangen?

Comments

Was ist denn genau K?

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f(x)=-1/3x^3 + 3x ist K

Answer 1

f(x) = - 1/3·x^3 + 3·x

f'(x) = 3 - x^2

Die Tangente hat die Steigung 2 damit kommen folgende Stellen in Frage:

f'(x) = 3 - x^2 = 2 --> x = -1 ∨ x = 1

y(1) = 2·1 - 2/3 = 4/3

y(-1) = 2·(-1) - 2/3 = -8/3

f(1) = 8/3

f(-1) = -8/3

Damit ist es die Tangente an der Stelle x = -1

Comments

Ich kann mir nicht helfen, mir ist so als hätte ich das heute irgendwo schon mal gelesen

Answer 2

Gleichsetzen liefert

-1/3x^3 + 3x - 2x + 2/3=0

-1/3x^3 + x +2/3 = 0

Eine mögliche Nullstelle ist -1. Mache nun weiter mit Polynomdivision. Kriegst du das hin?

Answer 3

Hi,

f(x) = -1/3*x^3+3x

Das kannst Du gleichsetzen mit t(x)

-1/3x^3 + 3x = 2x - 2/3

Das alles auf eine Seite bringen und Polynomdivision anwenden (vorher mit 3 multiplizieren)

x^3 - 3x - 2 = 0

Raten -> x = 2

(x^3-3x-2)/(x-2) = x^2 + 2x +1

Das ist auch (x+1)^2 un damit haben wir x_(1) = 2 und x_(2,3) = -1

Wegen der doppelten Nullstelle/Schnittstelle ist x = -1 ein Berührpunkt (B(-1|-8/3)) zwischen t(x) und f(x). Zudem schneidet die Tangente den Graphen K an der Stelle x = 2 (bzw. im Punkt S(2|10/3))

Könnte man natürlich auch mit der Ableitung machen :). Kommt das gleiche raus...hoffentlich :D

Grüße

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Alternative mit Ableitung:

f'(x) = t'(x)

-x^2+3 = 2

x^2-1 = 0

x_(1) = -1

x_(2) = 1

Überprüfen von den beiden Stellen mit f(1) = t(1). Das trifft nur auf x_(1) zu. Ist also Tangente.

Weitere Schnittpunkte kann man nun mit der Polynomdivision finden.

Answer 4

f'(x)=-x^2+3

f'(x)=2

-x^2+3=2

x=±1

f(1)=8/3

f(-1)=-8/3

t(-1)=-8/3

t(x) ist die Tangente von f an der Stelle x=-1

Restliche Schnittpunkte:

-1/3x^3+3x=2x-2/3

-1/3x^3+x+2/3=0

x^3-3x-2=0, Lösung x=-1 bekannt, ausklammern

(x+1)(x^2-x-2)=0

x^2-x-2=0

x=-1 oder x=2

f(2)=10/3

P1(-1,-8/3),P2(2,10/3)