Tunnelrechnung,Extremalprobleme

Question

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten.  Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?

Mein Ansatz:

Hauptbed. : A (r,h)= 0,5 * π * r^2 + h*2r

Wie komme ich nun weiter?

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Wie komme ich auf die Nebenbedingung?

Answer 1

U = 2·r + 2·h + pi·r --> h = (U - r·(pi + 2))/2

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2

A = 2·r·((U - r·(pi + 2))/2) + 1/2·pi·r^2

A = r·U - r^2·(pi + 4)/2

A' = U - r·(pi + 4) = 0 --> r = U/(pi + 4)

h = (U - (u/(pi + 4))·(pi + 2))/2

h = U/(pi + 4)

Damit ist die Höhe so groß wie der Radius.

Das umschließende Rechteck ist also ein Quadrat.

Comments

wie kommt man auf die Nebenbedingung?

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zB hat man ja, U=2´*r+2*h aber woher kommt pi*r?

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pi * r ist der aufgesetzte Halbkreis. Der hat die Bogenlänge pi *r.

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müsste es nicht 1/2 * π *r sein?

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Nein, der ganze Kreis hat den Umfang 2πr. Dann hat der Halbkreis die Bogenlänge πr.