lass die Scheiße mit "Abstand vom Nullpunkt" einfach sein.
Du sollst eine Äquivalenzrelation beweisen, also die drei Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv.
(a) reflexiv:
$$ (x_1,y_1) \sim (x_1,y_1) $$
$$ x_1^2+y_1^2 = x_1^2+y_1^2 $$
richtig
(2) symmetrisch:
(a)
$$ (x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) $$
$$ x_1^2+y_1^2 = x_2^2+y_2^2 $$
(b)
$$ (x_2,y_2) \sim (x_1,y_1) $$
$$ x_2^2+y_2^2 = x_1^2+y_1^2 $$
(a) und (b) sind gleich, also richtig
(3) transitiv:
(a)
$$ (x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) $$
$$ x_1^2+y_1^2 = x_2^2+y_2^2 $$
(b)
$$ (x_2,y_2) \sim (x_3,y_3) $$
$$ x_2^2+y_2^2 = x_3^2+y_3^2 $$
(c)
$$ (x_1,y_1) \sim (x_3,y_3) $$
$$ x_1^2+y_1^2 = x_3^2+y_3^2 $$
(a) und (b) addieren, dann kürzen ergibt (c), also richtig
Es ist somit eine Äquivalenzrelation.
(4) Äquivalenzklasse
$$ (-1,2) \sim (x,y) $$
$$ (-1)^2+(2)^2 = x^2+y^2 $$
Die Äquivalenzklasse ist somit:
$$ \overline{(-1,2)} = \{ (x,y) \mid 5 = x^2+y^2 \} $$
(Das ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius \( \sqrt5 \), aber das interessiert niemanden.)
Grüße,
M.B.
