Äquivalenzrelation LA: (x1,y1) ∼ (x2,y2) :⇔ x1^2 + y1^2 = x2^2 +y2^2.

Question

Bitte um Hilfe zu dieser Aufgabe

 
a) Auf der Menge \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) sei eine Relation \( \sim \) gegeben durch
$$ \left(x_{1}, y_{1}\right) \sim\left(x_{2}, y_{2}\right): \Longleftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2} $$
Zeigen Sie, dass \( \sim \) eine Aquivalenzrelation ist und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse von
$$ (-1,2). $$

b) Für eine natürlich Zahl \( n \) und \( a, b, c, d \in \mathbb{Z} \) gelte \( a \equiv b \) mod \( n \) und \( c \equiv d \) mod \( n . \) Zeigen Sie:
(i) \( a+c \equiv b+d \) mod \( n \)
(ii) \( a-c \equiv b-d \) mod \( n \)
(iii) \( a \cdot c \equiv b \cdot d \) mod \( n \)

Comments

Auf der Menge R R sei eine Relation gegeben durch(x1, y1) R (x2, y2) :    x₁²+y₁²= x₂²+y₂²Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation ist und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse von(

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1. a)  Auf der Menge R × R sei eine Relation ∼ gegeben durch

   (x1,y1) ∼ (x2,y2) :⇐⇒ x12 +y21 = x2 +y2.
   Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse von

   (−1, 2).

   b)  Füreinenatürlich Zahl n und a,b,c,d ∈ Z gelte a≡b mod n und c≡d mod n.
   

2. ZeigenSie:

   (i) a+c≡b+dmodn, (ii) a−c ≡ b−d mod n,

   (iii) a·c ≡ b·d mod n. 

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(x1,y1) ∼ (x2,y2) :⇐⇒ x12 +y21 = x2 +y2.

Das ist Quatsch.

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er meint wohl: x1 hoch 2 + y1 hoch 2  = x2 hoch 2 + y2 hoch 2 .

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(x1,y1) ∼ (x2,y2) :⇔ x12 + y1² = x2² +y₂2.

Ist auch Quatsch. Was jetzt? Drittes Posting?

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Hier ist wahrscheinlich \( x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \) gemeint.

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Komisch ...ich habe es verbessern wollen und jetzt ist es wieder so geworden.

Ich poste ein Bild davon am besten.

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Hier nochmal ein Foto von der Aufgabe 

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EDIT: Habe nun das Bild oben eingefügt und die Exponenten ergänzt.

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Danke :) ich bräuchte echt Hilfe , also wenn jemand was weiß bitte melden.

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ich habe auch das nicht verstanden scheiß auf KIT

Answer 1

lass die Scheiße mit "Abstand vom Nullpunkt" einfach sein.

Du sollst eine Äquivalenzrelation beweisen, also die drei Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv.

(a) reflexiv:

$$ (x_1,y_1) \sim (x_1,y_1) $$

$$ x_1^2+y_1^2 = x_1^2+y_1^2 $$

richtig

(2) symmetrisch:

(a)

$$ (x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) $$

$$ x_1^2+y_1^2 = x_2^2+y_2^2 $$

(b)

$$ (x_2,y_2) \sim (x_1,y_1) $$

$$ x_2^2+y_2^2 = x_1^2+y_1^2 $$

(a) und (b) sind gleich, also richtig

(3) transitiv:

(a)

$$ (x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) $$

$$ x_1^2+y_1^2 = x_2^2+y_2^2 $$

(b)

$$ (x_2,y_2) \sim (x_3,y_3) $$

$$ x_2^2+y_2^2 = x_3^2+y_3^2 $$

(c)

$$ (x_1,y_1) \sim (x_3,y_3) $$

$$ x_1^2+y_1^2 = x_3^2+y_3^2 $$

(a) und (b) addieren, dann kürzen ergibt (c), also richtig

Es ist somit eine Äquivalenzrelation.

(4) Äquivalenzklasse

$$ (-1,2) \sim (x,y) $$

$$ (-1)^2+(2)^2 = x^2+y^2 $$

Die Äquivalenzklasse ist somit:

$$ \overline{(-1,2)} = \{ (x,y) \mid 5 = x^2+y^2 \} $$

(Das ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius \( \sqrt5 \), aber das interessiert niemanden.)

Grüße,

M.B.

Comments

noch ein Hinweis:

Die Relation ist definiert auf \( \Bbb R^2 \times \Bbb R^2 \) und nicht auf \( \Bbb R \times \Bbb R \).

Grüße,

M.B.

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Bin mittlerweile auch auf die Lösung gekommen, nur bisschen umständlicher. Danke für die Antwort. Jetzt versteh ich es noch besser :) .

Answer 2

Zwei Punkte der Ebene stehen in Relation zueinander, wenn sie vom Nullpunkt denselben Abstand haben. Dass eine Aequivalenzrelation vorliegt folgt daraus, dass Gleichheit eine ist. Die Klasse von (-1,2) besteht aus allen Punkten, die denselben Abstand vom Nullpunkt haben wie (-1,2).

Es gilt a ≡ b mod n genau dann, wenn es eine ganze Zahl k gibt mit a = b + kn. Benutze das.

Comments

Könnten Sie es genauer erläutern?

Ich verstehe nicht ganz wie ich die Aufgabe lösen soll.

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Ich weiss nicht, was man an so einfachen Sachverhalten noch erlaeutern soll. Bei Teil a) sind zuerst die drei Bedingungen für eine Aequivalenzrelation nachzupruefen. Damit wuerde ich mal anfangen. Eine geometrische Interpretation ist nicht noetig.