Man zeige, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Auf R² \ {(0,0)}  wird eine Relation R durch

           (a,b) R (c,d)   :⇔   ad=bc

definiert. Man zeige, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

Answer 1

-Reflexivität:

(a,b) R (a,b) : ab=ab klar

-Symmetrie:

Wenn (a,b) R (c,d) gilt , muss dann auch (c,d) R (a,b) gelten

-Transitivität:

Wenn (a,b) R (c,d) und (c,d) R (e,f) gilt, dann musst du zeigen, dass

(a,b) R (e,f) gilt

Reflexivität habe ich gezeigt, kannst du die anderen?

Comments

 (a,b) R (c,d) und (c,d) R (e,f) ⇒ (a,b) R (e,f)      (af=be)

  ad=bc        und cf=de

⇒ adf=bcf      und bcf=bde

⇒ adf=bde ⇒ af=be ⇒ transitiv

Aber symmetrie kann ich immer noch nicht beweisen :(( Hilfe bitte!

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Also du weißt, dass gilt:

(a,b) ~ (c,d) : ad=bc

Nun musst du zeigen:

(c,d) ~ (a,b) , du weißt, hier wäre die Gleichung dann: cb=da, du könntest z.B. mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation argumentieren, dass diese Gleichung von der ersten gilt.

Denn wenn ad=cb gilt, gilt wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation auch cb=da

cb ist das gleiche wie bc ,

ad ist das gleiche wie da.

Answer 2

Hallo

stell dir das Paar als Bruch a/b vor, dann siehst du erstmal was die Relation sagt, dann einfach aufschreiben wann eine Relation  eine Äquivalenzrelation ist und Punkt für Punkt einfach zeigen! Genau das sollst du ja lernen, mit Definitionen umgehen. Und dann kannst du nachfragen, wenn du an einem Punkt scheiterst, aber zeig was du bis dahin gemacht hast.

Gruß lul