Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Balken weit genug abgekühlt ist, um ihn weiterverarbeiten zu können.

Question

In einem Stahlwerk soll ein frisch gegossener Stahlbalken von \( T_{0}=1240^{\circ} \mathrm{C} \) abkühlen, um ihn bei einer Temperatur von \( 300^{\circ} \mathrm{C} \) weiterverarbeiten zu können. Nach einer Stunde beträgt die Temperatur noch \( 1020^{\circ} \mathrm{C} \).

Die Halle, in der sich der Balken befindet, wird konstant auf \( T_{A}=20^{\circ} \mathrm{C} \) gehalten.

Nach Newtons Abkühlungsgesetz beträgt die Temperatur zum Zeitpunkt \( t \)

\( T=T_{A}-\left(T_{A}-T_{0}\right) e^{-k t} \)

mit einer positiven Konstante \( k \).

Berechnen Sie \( k \) und bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Balken weit genug abgekühlt ist, um ihn weiterverarbeiten zu können.

Comments

T ( t ) = 20 - (20 - 1240) * e^{-k*t}
T ( 1 ) = 20 - (-1220) * e^{-k*1} = 1020
 20 +1220 * e^{-k} = 1020
1220 * e^{-k} = 1020 - 20 = 1000

e^{-k} =  1000 / 1220  = 50 / 61  | ln
-k = ln ( 50 / 61 ) = -0.1989
k = 0.1989

oder
.. aber wie kommen sie auf 61/50?
e^{-k} = 50 / 61
1 / e^{k} = 50 / 61
e^{k} = 61 / 50

Answer 1

T(t) = 20 - (20 - 1240)·e^{- k·t}

T(1) = 1020 --> k = LN(61/50) = 0.19885

T(t) = 20 - (20 - 1240)·e^{- 0.19885·t}

T(t) = 300 --> t = 20000·LN(61/14)/3977 = 7.402 h

Comments

T(t) = 20 - (20 - 1240)·e^{- k·t // Das ist ja die normale formel haben alles eingesetzt usw.}

T(1) = 1020 --> k = LN(61/50) = 0.19885  // 1240 ist es vor einer Std nach einer Std ist es auf 1020, bis dahin hab ich es verstanden! wie kommen sie auf k? LN ist ja die funktion das weiss ich auch.. aber wie kommen sie auf 61/50?

T(t) = 20 - (20 - 1240)·e^{- 0.19885·t} // da haben sie wieder alles eingesetzt

T(t) = 300 --> t = 20000·LN(61/14)/3977 = 7.402 h  // den Teil hab ich komplett nicht verstanden bitte um Ihre Hilfe wieder :))

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T(1) = 1020

20 - (20 - 1240)·EXP(- k·1) = 1020

Löse die Gleichung nach k auf.

T(t) = 300

20 - (20 - 1240)·EXP(- 0.19885·t) = 300

Löse die Gleichung nach t auf.