Wurzelgleichung: √(52+4x)+√(52-4x)=12

Question

Wie ist diese Wurzelgleichung zu lösen:

\( \sqrt{52+4 x}+\sqrt{52-4 x}=12 \)

Answer 1

Hi,

der Trick ist zu quadrieren und die binomische Formel nicht zu vergessen:

 

52+4x+2√(52+4x)√(52-4x)+52-4x=144    |-104

2√(52+4x)√(52-4x)=40                        |:2

√(52+4x)√(52-4x)=20                           |quadrieren

(52+4x)(52-4x)=400

2704-16x^2=400

16x^2=2304                                 |:16

x^2=144                          |Beim Wurzel ziehen die beiden Lösungen beachten

x_1,2=±12

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Bei Wurzelgleichungen sollte man allerdings immer die Lösungen anhand einer Probe prüfen. Wir sehen hier allerdings das beide Lösungen die Probe erfüllen. Das muss aber nicht zwangsweise so sein.

Answer 2

Wir sehen, dass sich der erste Summand und der zweite nur durch das Vorzeichen unter dem Bruchstrich unterscheiden - dann kann man wahrscheinlich die 3. Binomische Formel anwenden: 

(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2

 

Wir quadrieren beide Seiten und erhalten: 

(52 + 4x) + 2 * (√(52 + 4x)*√(52 - 4x)) + (52 - 4x) = 144

(52 + 4x) + 2 * √((52 + 4x)*(52 - 4x)) + (52 - 4x) = 144

Dritte Binomische Formel auf den mittleren Summanden angewandt:

(52 + 4x) + 2 * √(52^2 - (4x)^2) + (52 - 4x) = 144

√(52^2 - (4x)^2) = 20

Nochmals quadrieren: 

52^2 - 16x^2 = 400

16x^2 = 2304

x^2 = 144

x1 = 12

x2 = -12

 

Probe: 

√100 + √4 = 10 + 2 = 12

√4 + √100 = 2 + 10 = 12

 

passt :-)