Wie berechnet man Abstände ohne Vektoren?

Question

Das Thema ist Abstände. Dabei geht es um den Abstand von 2 Punkten, den Abstand eines Punktes von einer Geraden und den Abstand zweier paralleler Geraden. Könnte mir jemand die Herangehensweisen erklären? Ich wäre allen, die kommentieren, echt dankbar.

Answer 1

Eine Gerade g ist die Menge aller Punkte (x|y), die die Gleichung ax + by = c erfüllt.

Sei P(x_P|y_P) ein Punkt. Gesucht ist der Abstand des Punktes P zu der Geraden g. Mit Abstand ist dabei der Abstand von P zu dem Punkt der Geraden g gemeint, der dem Punkt P am nächsten liegt.

Formt man die Gleichung ax + by = c nach y um, so bekommt man y = (c-ax)/b. Jeder Punkt P_g der Geraden hat also die Koordinaten P_g(x | (c-ax)/b) für einen geeigneten Wert x.

Nach Pythagoras gilt für den Abstand d zwischen P und P_g:

    d = √((x_P - x)² + (y_P - (c-ax)/b)²).

Das kann als Funktion

    d(x) = √((x_P - x)² + (y_P - (c-ax)/b)²)

aufgefasst werden. Bestimme mit den Mitteln der Analysis, an welcher Stelle diese Funktion ein Minimum hat.

Comments

Analysis und so einen Kram hatten wir noch nicht in der Schule...

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Analysis kannst du durch folgende Überlegungen ersetzen:

Anstatt die Funktion

        d(x) = √((x_P - x)² + (y_P - (c-ax)/b)²)

zu untersuchen, wird die Funktion

        q(x) = (x_P - x)² + (y_P - (c-ax)/b)²

untersucht. Diese Funktion gibtdas Quadrat des Abstandes an. Das Quadrat des Abstandes ist genau dann minimal, wenn auch der Abstand minimal ist.

Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel. Bestimme den Scheitelpunkt, zum Beispiel indem du die Funktion in die Scheitelpunktform überführst.