ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher, ob ich mit meiner Lösung richtig liege.
Sei xn mit n ∈ ℕ eine konvergente Folge reeller Zahlen : lim n ->∞ xn = a.
Zeigen Sie dass für jede Teilfolge gilt : lim k ->∞ xnk =a.
Meine Überlegung wäre:
$$für\quad \varepsilon \quad >\quad 0\quad \exists \quad N\quad \epsilon \quad nat.Zahlen\quad ,\quad so\quad dass\quad für\quad alle\quad n\quad \ge \quad N:\quad |{ x }_{ n }-a|<\quad \varepsilon $$
$$für\quad k\quad \ge \quad N\quad ist\quad { n }_{ k }\quad \ge N\quad und\quad somit\quad |{ x }_{ { n }_{ k } }-a|\quad <\quad \varepsilon $$
Hier bin ich dann doch fertig, oder?
Die Begründung in Worten wäre doch dass wenn U eine beliebige Umgebung des Grenzwertes der Folge xn ist, so enthält U fast alle Glieder der Folge xn und damit auch fast alle Glieder der Teilfolge von xn.
Jetzt habe ich gezeigt dass die teilfolge konvergent ist aber wie zeige ich dass diese gegen den gleichen grenzwert konvergiert?
mfg
