w1 und w2 sind Untervektorräume. Ist w1 u w2 auch Untervektorraum?

Question

habe folgende Aufgabe:
Sind die Aussagen richtig oder falsch? Begründe oder widerlege!

1. Wenn V ein K-Vektorraum ist und W₁ und W₂ Untervektorräume,so ist auch  W₁ ∩ W₂ ein Untervektorraum.

2.Wenn V ein K-Vektorraum ist und W₁ und W₂ Untervektorräume,so ist auch  W₁ ∪ W₂ ein Untervektorraum.

Meine Antwort: Für mich klingt beides logisch. Auch mit Beispielen komme ich darauf, dass beide Aussagen wahr sind.

Beispiel: Wir sind im ℝ-Vektorraum: {0} und ℝ sind Untervektorräume. {0} ∩ ℝ ist ja wieder {0}

und {0} ∪ ℝ ist ja wieder ℝ also stimmt es für dieses Beispiel.

Ist meine Antwort richtig? Hat jemand eine bessere Begründung?

Ich danke euch!

Answer 1

Hm... betrachte lieber noch ein oder zwei andere Beispiele!

Comments

Also bei  W₁ ∪ W₂ bin ich mir sicher, dass das wieder ein Untervektorraum ist.

Anderes Beispiel: Nehmen wir mal den ℝ³ Vektorraum: Unterräume sind {0} alle Geraden durch den Nullpunkt, alle Ebenen durch den Nullpunkt und natürlich ℝ³ selbst

Schneidet man Alle Geraden durch Null mit allen Ebenen durch Null bekommt man wieder {0}, was ja wieder Unetrvektorraum ist.

Also gilt hier auch W₁ ∪ W₂

Weitere Beispiele kann ich leider nicht produzieren. Hatten das Thema bis jetzt an den Beispielen der ℝⁿ Vektorräume

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Was bedeutet das Zeichen ∪ ?

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∪ ist hier die Vereinigung von den Untervektorräumen. Ah sorry bei meinem Beispiel gerade meinte ich natürlich in Zeile 6: "Also gilt hier auch W₁ ∩ W₂"

Also ich finde keine beispiel für das  W₁ ∩ W₂ nicht gilt.

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Ok, du findest keins und vielleicht gibt es auch keins. Dann musst du Aussage 2 wohl begründen.