Differentialgleichung y' = x^2+y^2

Question

wie löst man die Dgl.

$$ y' = x^2+y^2 $$

Mfg

Answer 1

Die Lösungen lassen sich in diesem Fall nicht mit elementaren Funktionen darstellen. Eindeutige Loesbarkeit jedes AWPs ist aber garantiert, da die rechte Seite aus C¹ (sogar holomorph) ist. Du kannst z.B. einen Potenzreihenansatz machen oder numerisch rechnen (lassen).

Comments

so etwas habe ich erwartet.

Welchen Typ hat die Dgl.?

Wie begründest Du Deine Antwort?

Mfg.

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Im Prinzip gar nicht. Nur mit dem Hinweis, dass es die absolute Ausnahme ist, wenn man die Lösungen einer Dgl mit elementaren Funktionen direkt hinschreiben kann.

Im konkreten Fall kannst Du Dir die Lösungen von Wolframalpha ausrechnen lassen. Du kriegst dann was mit Besselfunktionen drin ausgespuckt.

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nach meinen Erkenntnissen ist das eine spezielle Riccati-Dgl. Die ist einfacher als die allg. Riccati-Dgl. und lässt sich (normalerweise) lösen. Die Substitution, die man verwendet führt bei mir aber hinterher auf genau die gleiche Dgl. wie vorher (nur mit anderen Variablennamen).

Außerdem stimme ich Dir nicht zu, das es eine absolute Ausnahme ist. Viele Dgl. lassen sich lösen, auch wenn der Aufwand teilweise enorm ist.

Mfg.

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Loese sie doch, wenn Du meinst, Du kannst sie loesen. Ich hab Dir ja bereits erzaehlt, das man die Lösungen mit Besselfunktionen aufschreiben kann. Da das spezielle Funktionen sind, wird es keine Lösung in elementaren Funktionen geben.

Den "vielen" Dglen, für die man Lösungen mit elementaren Funktionen angeben kann, stehen noch "viel, viel mehr" gegenueber, für die man es nicht kann. Ein simples Beispiel hast Du gerade vorliegen.