Du musst die Axiome für Ringe der Reihe nach durchgehen.
Also: Mit M = Abb(A,R) zeigen:
(M , + ) ist eine Gruppe:
(i) : Die Addition ist in M abgeschlossen, also f,g aus M
dann auch f+g aus M . Dem ist so, da
(f+g) (x) = f(x) + g(x) und da R ein Ring ist, ist
die Summe zweier Elemente wieder ein Element von R
und wenn für jedes x das Ergebnis von (f+g) (x) wieder in R ist,
ist f+g eine Abb. von A nach R.
(ii) assoziativ: Kannst du auf die Assoziativität in (R,+) zurückführen.
(iii) neutral ist die Abb n: A ---> R mit n(x) = 0 f. alle x aus A
etc. weiter mit allen anderen Ringaxiomen.
Bei Abb(
{1, 2}, R) gibt es ja die Abbildung n: A ---> R mit n(x) = 0 f. alle x aus A .
Damit es ein Körper sein kann, muss es auch ein multiplikatives neutrales El geben
etwa e : A ---> R mit e(x) = 1
Und zu prüfen ist, ob jede andere eine multiplikative Inverse in Abb({1, 2}, R) besitzt.
Dann wäre es ein Körper. Sei also f: A ---> R und f ≠ n.
Gesucht ist g aus Abb({1, 2}, R) mit g*f = e also
g(x) * f(x) = 1 für alle x aus A. Wenn etwa f : A ---> R mit f(1) = 0 und f(2)=1 ist,
( f ist dann immer noch ungleich n )
dann geht das wohl nicht ; denn g(x) * f(x) = 1 wird für x = 1 nicht zu machen sein.
