Question

Es gelte x_n → x in R. Zeigen Sie, dass dann die Folge der Mittelwerte den gleichen Grenzwert hat, d.h.

yn := 1/n ∑k=1 bis n (x_k →x). (3.1)

Zeigen Sie ferner, dass die Rückrichtung im Allgemeinen falsch ist, d.h. dass aus (3.1) nicht automatisch x_n → x folgt. 

Comments

Wie ist denn x definiert? Was ist mit dem Pfeil gemeint? 

Answer 1

Hi,
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \lim_{k \to \infty} x_n = x  $$

Nehme die Folge \( x_1 = 1 \) und \( x_n = 0 \) für n > 1, dann konvergiert der Mittelwert gegen 0 der Folgenwert aber gegen 1.

Comments

Meinst du das reicht als Beweis 

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Ich denke das ist er.

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Gemeint ist: Aus \(x_n\to x\) folgt \(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\to x\). Das ist der Cauchysche Grenzwertsatz.