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Es gelte xn → x in R. Zeigen Sie, dass dann die Folge der Mittelwerte den gleichen Grenzwert hat, d.h.

yn := 1/n ∑k=1 bis n (x→x). (3.1)

Zeigen Sie ferner, dass die Rückrichtung im Allgemeinen falsch ist, d.h. dass aus (3.1) nicht automatisch xn → x folgt.

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Wie ist denn x definiert? Was ist mit dem Pfeil gemeint?

1 Antwort

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Hi,
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \lim_{k \to \infty} x_n = x  $$

Nehme die Folge \( x_1 = 1 \) und \( x_n = 0 \) für n > 1, dann konvergiert der Mittelwert gegen 0 der Folgenwert aber gegen 1.

Avatar von 39 k

Meinst du das reicht als Beweis

Ich denke das ist er.

Gemeint ist: Aus \(x_n\to x\) folgt \(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\to x\). Das ist der Cauchysche Grenzwertsatz.

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