Berechnung des Definitionsbereiches von h(x)=ln(x^2-2x)

Question

Es soll für h(x)=ln(x^2-2x) der Definitionsbereich bestimmt werden, bei genauen hinsehen komme ich auf 0>x>2.

Aber wie bestimme ich ihn rechnerisch?

Mein Ansatz wäre

 |x^2-2x|>0 dann das x ausklammern?

x(|x-2|)>0

x-2>0

x>2    Aber das stimmt ja nur zum teil?!

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Meinst du "bei genauen hinsehen komme ich auf 0<x<2. "  ? 

Und warum soll man z.B. x=5 nicht einsetzen können? 

Answer 1

$$ x^2-2x \gt 0 \\ x(x-2) \gt 0 \\ i) x \gt 0: \\ (x-2) \gt 0 \\ x \gt 2 \\ ii) x \lt 0: \\ (x-2) \lt 0 \\ x \lt 2 \\ \rightarrow x \lt 0, x \gt 2 (x = 0 \text{ keine Lösung}) $$

Comments

Aber nun kommt man ja auf 4 Aussagen...woher soll man wissen welche die richtige ist?

x<0,x>0,x>2,x<2   ?

Leider etwas schwierig zu verstehen. Oder sind das Scheinlösungen?

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Es werden nur die beiden Fälle x>0 und x<0 betrachtet (x=0 ist klar keine Lösung)

Im ersten Fall ergibt sich als Lösung x>2. Die Zahlen zwischen 0 und 2 lösen die Ungleichung also nicht.

Im zweiten Fall wird dann x<0 betrachtet, dann bekommt man als Lösung x<2. Das ist aber nach Voraussetzung schon erfüllt, also bleibt hier als Teillösung nur x<0. Über die Zahlen zwischen 0 und 2 wird hier keine Aussage getroffen.

Die Gesamtlösung ist die Vereinigung der beiden Teillösungen.

Answer 2

zuerst einmal solltest Du die Zeichen \(<\), \(=\) und \(>\) beherrschen. Deine Aussage \( 0>x>2 \) ergibt keinen Sinn. Außerdem sind Deine Betragstriche überflüssig..

Es gilt: Der Logarithmand (= Numerus) muss positiv sein, also

$$ x^2-2x = (x-2)x > 0 $$

Ein Produkt ist \( > 0 \), wenn beide Faktoren \( > 0 \) oder beide \( < 0 \) sind.

Fall 1:

\( x-2 > 0 \) und gleichzeitig \( x > 0 \), damit \( x > 2 \)

Fall 2:

mache selber.

Grüße,

M.B.

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x-2<0  ,   x<0   Damit x<2. ?

Problem ist aber was nun der eigentliche Wert ist?

Es tut mir leid, aber Mathe fällt mir so unglaublich schwer:(

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Du hast \( x-2 < 0 \). Das kannst Du umformen zu \( x < 2 \). Gleichzeitg muss auch gelten \( x < 0 \).

Bei Ungleichungen ist es oft hilfreich, Du malst einen Zahlenstrahl. Die erste Bedingung ist dann eine Linie von ganz links bis zur 2, die zweite ist eine Linie von ganz links bis zur 0.

Lösung ist nur der Bereich, für den beide Bedingungen gelten, also wo zwei Linien sind.

Grüße,

M.B.