Bild und Kern von f bestimmen...f: R^2 -> R^2 , (a,b) -> (a-b, b-a)

Question

Betrachten Sie die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(a, b) \mapsto(a-b, b-a) \).

(a) Zeigen Sie, dass \( f \) ein Gruppenhomomorphismus ist.

(b) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von \( f \).

Comments

Ich bräuchte zu meinem alten Übungsblatt für folgende Aufgabe eine Lösung, da ich sie nicht lösen konnte.

 und gerne mit Erklärung! 

vielen danke

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Können Sie mir vielleicht helfen ?

Answer 1

1)

( ℝ² , + )  ist eine Gruppe

Homomorphismus:

Für alle (x,y), (u,v)  ∈ ℝ² gilt:

f ( (x,y) + (u,v) ) = f( (x+u) , (y+v) ) = ( x+u - (y+v) , y+v - (x+u) )  =  ( x-y + u-v , y-x + v-u )

= ( x-y , y-x ) + ( u-v , v-u)  =  f( (x,y) )  + f( (u,v) 

2)

Kern(f) = { (x,y) ∈ ℝ² |  f( (x,y) } = (0,0) } 

Kern(f)  = { (x,y) ∈ ℝ² | ( x-y , y-x ) = (0,0) }  = { (x,y) ∈ ℝ² | x = y } 

Bild(f) = { (a-b , b-a) | a,b ∈ ℝ }  = { ( a-b , - (a-b) )  |  a,b ∈ ℝ }  

= { (x,-x) | x ∈ ℝ }  = { (x,y) ∈ ℝ² |  y = -x }

Gruß Wolfgang

Comments

Inwiefern zeigt 1), dass f ein Gruppenhomomorphismus ist?

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Ein Gruppenhomomorphismus  ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen (G₁,o₁) und (G₂,o₂) ,

 die mit x, y ∈  G₁ der Bedingung f(x o₁ y) = f(x) o₂ f(y) genügt.

Hier G₁ = G₂ = ℝ²  mit  der Verküpfung  + =  o₁ = o₂ 

also: f: ℝ² →  ℝ²  mit   f(x + y) = f(x) + f(y) 

Achtung: Hier bedeuten x und y Elemente von ℝ² mit jeweils zwei Koordinaten. In der Antwort stehen in f ( (x,y) + (u,v) )  x und y für die Koordinaten.

[ Das Aufschreiben solcher Herleitungen ist an sich schon lästig, da hat man nicht noch Bock auf Indices :-) ]

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Warum ist die Verknüpfung +?

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Über die Verknüpfung in ℝ² ist nichts ausgesagt. Deshalb gehe ich 

von der Standardgruppe (ℝ² , + ) aus.

Answer 2

Komme überhaupt nicht weiter :-((

Comments

$$(x,y)\in\operatorname{Ker}(f)\Leftrightarrow (0,0)=f\big((x,y)\big)=(x-y,y-x)\Leftrightarrow x=y.$$

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Was genau habe ich damit jetzt gezeigt?

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$$\operatorname{Ker}(f)=\{(x,x)\,\big|\,x\in\mathbb R\}.$$

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Danke und was war nochmal das Bild von f

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$$(x,y)\in\operatorname{Im}(f)\Leftrightarrow y=-x. $$

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Warum ist x plötzlich negativ?

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Vergleiche meine Antwort