Zeigen Sie, dass die Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind. Kern und Bild bestimmen.

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen
\( \begin{array}{l} \varphi: \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto z+\bar{z}, \\ \psi: \mathbb{C}^{*} \longrightarrow \mathbb{C}^{*}, \quad z \mapsto z \bar{z} \end{array} \)
Gruppenhomomorphismen sind.
(b) Bestimmen Sie jeweils Kern und Bild von \( \varphi \) bzw. \( \psi \).
(c) Wenden Sie den Homomorphiessatz auf \( \varphi \) und \( \psi \) an und geben Sie die Abbildungen \( \tilde{\varphi} \) und \( \tilde{\psi} \) explizit an.

Text erkannt:

Aufgabe 4 (Homomorphie und Homomorphiesatz).
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen
$$ \begin{array}{l} \varphi: \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto z+\bar{z}, \\ \psi: \mathbb{C}^{*} \longrightarrow \mathbb{C}^{*}, \quad z \mapsto z \bar{z} \end{array} $$
Gruppenhomomorphismen sind.
(b) Bestimmen Sie jeweils Kern und Bild von \( \varphi \) bzw. \( \psi \).
(c) Wenden Sie den Homomorphiessatz auf \( \varphi \) und \( \psi \) an und geben Sie die Abbildungen \( \tilde{\varphi} \) und \( \tilde{\psi} \) explizit an.

Wie zeige ich das ?

Answer 1

Hallo :-)

Zu a). Setze jeweils die gegebene Abbildung in die Definition zum Gruppenhomomorphismus ein und rechne damit die Axiome nach.

Zu b). Eine komplexe Zahl \(z\in \mathbb{C}\) hat ja allgemein diese Form: \(z=a+b\cdot i\), wobei \(a,b \in \mathbb{R}\) gilt. Dann ist ja zb bei der ersten Abbildung \( \varphi \):

\(z+\overline{z}=a+b\cdot i+\overline{a+b\cdot i}=a+b\cdot i+a-b\cdot i=2\cdot a\). Welche Zahlen werden also nur in der Zielmenge \(\mathbb{C}\) erreicht? Was musst du einsetzten damit du im Kern landest? Mache dasselbe bei \(\psi\).

Zu c). Dafür musst zuerst b) gemacht haben, damit du mithilfe der Kern -und Bildmenge die Abbildungen \( \tilde{\varphi} \) und \( \tilde{\psi} \) angeben kannst.