danke! habe es nochmal gemacht habe ich das so rochtig verstanden was du gesagt hast??
Da U ein Unterraum ist, ist
$$ 0 \in U , \\ $$ und für $$ i \in \mathbb{N} : \\f({ v }_{ i }) = 0 \in U \\$$
Wegen Linearität ist : $$ f({ v }_{ i }) = 0 = f(0) \\ \Rightarrow{ v }_{ i } = 0 \in S $$
Das Nullelement ist enthalten.
Abgeschlossenheit von S bezüglich d. Addition:
$$ { v }_{ 1 }, { v }_{ 2 } \in S , f({ v }_{ 1 }), f({ v }_{ 2 }) \in U $$
Wegen Linearität ist:
$$ f({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 }) = f({ v }_{ 1 }) + f({ v }_{ 2 }) \in U \\ \Rightarrow f({ f }^{ -1 }({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 })) = f({ f }^{ -1 }({ v }_{ 1 })) + f({ f }^{ -1 }({ v }_{ 2 })) \\ \Rightarrow({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 }) = ({ v }_{ 1 }) + ({ v }_{ 2 }) \in S \\ $$
Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar:
$$v \in S , \alpha \in K $$
Wegen Linearität ist:
$$ f(\alpha v) = \alpha f(v) \in U \\ \Rightarrow f({ f }^{ -1 }(\alpha v)) = \alpha f({ f }^{ -1 }(v)) \\ \Rightarrow (\alpha v) = \alpha (v) \in S $$