f : V -> W lineare Abbildung , U ist Unterraum von W. beweisen Sie, dass S ein Unterraum von V ist

Question

Die Aufgabe lautet: V, W sind Vektorräume über K , und U sei Unterraum von W. 

Sei f:  V →W eine lineare Abbildung. Beweisen Sie dass S ein Unterraum von W ist:
$$ S =\{ v \in V | f(v) \in U \} $$

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meine idee ist:




Wenn U ein Unterraum von W ist, enthält er auf jeden Fall den Nullvektorraum der sich abschließen 

lässt bezüglich Addition, Multiplikation mit Skalar.

Sei $$ U = \{0\} $$ 

Dann ist 

$$ S =\{ v \in V | f(v) = 0 \in U \} $$

Daraus folgt:  f ist eine lineare Abbildung, und wenn f(v) auf den Nullvektor von U ⊆ W abbildet, 

gilt für f(v) =0 = f(0) und v=0 ist der Nullvektor von S ⊆ V.

Also enthält auch S dass Nullelement: $$ 0 \in S \subseteq V $$

Jetzt wollte ich fragen ob das schon ausreicht um S als Untervektorraum zu bestimmen wenn ich die Addition und Multiplikation abschließen würde mit dem Nullvektorraum? Da ja eigentlich nicht beide nur aus dem Nullvektorraum bestehen, wenn man S zu dem kern setzen würde mit v ∈ V | f(v) = 0 ∈ U enthält S alle Elemente plus Nullraum und das Bild von S unter f nur den nullvektorraum.

danke: )))

Answer 1

Du musst zeigen :  S ist abgeschlossen , egal was U ist.

also etwa so:  x, y aus S dann f(x) aus U und f(y) aus U

also wegen Linearität f(x+y) = f(x) + f(y) = Summe zweier Elemente

von U also auch aus U  und damit  f(x+y) aus U und damit

x+y aus S.

Ähnlich für x asu S auch  c*x aus S zeigen

Comments

danke! habe es nochmal gemacht habe ich das so rochtig verstanden was du gesagt hast?? 

Da U ein Unterraum ist, ist 

$$ 0 \in U , \\ $$ und für $$ i \in \mathbb{N} : \\f({ v }_{ i }) = 0 \in U \\$$

Wegen Linearität ist :  $$ f({ v }_{ i }) = 0 = f(0) \\ \Rightarrow{ v }_{ i } = 0 \in S   $$

Das Nullelement ist enthalten. 

Abgeschlossenheit von S bezüglich d. Addition:

 $$ { v }_{ 1 }, { v }_{ 2 } \in S , f({ v }_{ 1 }), f({ v }_{ 2 }) \in U  $$

Wegen Linearität ist:  

$$  f({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 }) = f({ v }_{ 1 }) + f({ v }_{ 2 }) \in U \\ \Rightarrow f({ f }^{ -1 }({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 })) = f({ f }^{ -1 }({ v }_{ 1 })) + f({ f }^{ -1 }({ v }_{ 2 })) \\ \Rightarrow({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 }) = ({ v }_{ 1 }) + ({ v }_{ 2 }) \in S \\  $$

Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar:

 $$v \in S , \alpha \in K $$

Wegen Linearität ist:  

$$  f(\alpha v) = \alpha f(v) \in U \\ \Rightarrow f({ f }^{ -1 }(\alpha v)) =  \alpha f({ f }^{ -1 }(v)) \\ \Rightarrow (\alpha v) = \alpha (v)  \in S $$

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müsste dann f bijektiv sein wenn S ein Unterraum von V ist?

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ok nochmal: 

$$ { v }_{ 1 }, { v }_{ 2 } \in S , f({ v }_{ 1 }), f({ v }_{ 2 }) \in U \\ $$

Wg. Linearität:

$$ f({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 }) = f({ v }_{ 1 }) + f({ v }_{ 2 }) \in U $$

und  es soll sein: 

$$ ({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 }) = ({ v }_{ 1 }) + ({ v }_{ 2 }) \in S \ \Rightarrow { f }^{ -1 }(f({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 })) = { f }^{ -1 }(f({ v }_{ 1 })) + { f }^{ -1 }(f({ v }_{ 2 })) \\ =({ v }_{ 1 } + { v }_{ 2 }) = ({ v }_{ 1 }) + ({ v }_{ 2 }) \in S \\ \Rightarrow{ f }^{ -1 }(f(S)) = S , S \subseteq V \\ $$

f muss injektiv sein, und ist damit bijektiv und eine Umkehrfunktion existiiert ??

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ich weiss wirklich nicht wie ich auf auf v1 + v2 schließen soll...kann man die umkehrfunktion auch einfach weglassen ? 

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Umkehrfunktion gibt es ja vielleicht gar nicht. Nix gesagt, ob f Injektiv.

Für x+y aus S musst du doch nur zeigen  f(x+y) aus U,  denn alle,

deren Bild in U liegt, sind in S.

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ich habe etwas geufnden seite 7 https://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/AG-Krause/teachings/ss07_mif2/kapitel12.pdf
demnach existiert  S := f ^-1 (U) 

kamm man damit sagen dass dann auch f ( f ^-1( U) = U und f ^-1 (f(S)) = S  gilt? sonst würde ich S zur Umkehrfunktion f ^-1 (U)  setzen? 

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okay ich habe jetzt benutzt dass S ⊆  f ^-1( f ( S ) gilt und damit funkitoniert es hoffe ich

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f ^-1 (U)   ist die Urbildmenge von U, die existiert auch ohne Umkehrfunktion.

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ja das hab ich schon gemerkt : DD umkehrfunktion hab ich entfernt und nur noch S ⊆  f ^-1( f ( S ) benutzt das gilt auch wenn f nicht injektiv/bijektiv ist.